Повышение общности и абстрактности утверждений и теорем до такого уровня, что они на этой высоте повисают как в вакууме.
Вообще-то, я не настолько знаю математику и тем более историю математики, чтобы вещать о том, что такое бурбакизм есть на самом деле, но свое понимание могу изложить по-подробнее.
Евангелие от меня таково.
К концу 19-го века в науке сформировалась первая в истории картина мира и математики сильно задумались об основаниях своей науки.
Например, что именно изучает геометрия? математика сама по себе что такое?
Анализ основных понятий тогда показывал, что многие вещи понимаются только интуитивно.
Например синтетическая геометрия опирается лишь на бытовое представление об геометрических фигурах и интуитивно очевидные факты.
С развитием аналитической геометрии многие трудные задачи синтетической решились простым и общим способом аналитически.
К 20-му веку математики уже были убеждены, что нужно изгнать все нестрогие, интуитивные понимания.
Например, по существу, всю синтетическую геометрию заменили аналитической.
От евклидова пространства, заданного десятью аксиомами Евклида перешли к евклидову метрическому пространству, потому что аксиомы Евклида можно вывести из аксиом метрического пространства (которых, к тому же, и меньше).
Важную роль сыграли геометрия Лобачевского и проективная: они дали примеры геометрий, несводимых к метрическим свойствам.
Тогда же Ф.Клейн сформулировал предмет геометрии как изучение свойств, инвариантных по отношению к некоторому набору преобразований (топология, например, изучает свойства, сохраняющиеся при гомеоморфизмах).
Бурбаки взялись сформулировать все основные понятия математики с точки зрения концепции структур.
Например, число теперь -- это не абстракция некоторого количества, а множество, в котором определены четыре арифметических действия.
В геометрии, как обычно, ярче всего проявляются основы: чтобы задать геометрию, нужно задать пространство, относительно которого будут задаваться геометрические объекты, но относительно чего задавать само пространство?
Сперва перешли от синтетических точек и прямых к наборам чисел-координат (арифметическое пространство), так появились римановы пространства, например.
Но геометрию Лобачевского так не опишешь и выходит, что, кроме арифметического пространства есть ещё и другие; тогда всех их нужно задавать относительно чего-то ещё.
Постепенно так дошли до ручки, до того, что нужно выбрать некий язык, а сам язык тоже нужно относительно чего-то задавать, а ничего уже не осталось.
Бурбаки решили эту проблему простым трюком.
Например вектор; можно задавать его как набор координат относительно арифметического пространства и будет проблема как задавать пространство; а можно сделать не так.
Можно сказать, что у нас уже есть набор неких предметов, он уже выбран: множество стульев, или столов; мы лишь ещё вводим структуру на этом множестве -- определяем набор операций, которые применимы к элементам множества (сложение и умножение на число).
Бурбаки просто собрали в справочник (который почему-то считается учебником) все такие структуры, известные в математике на то время.
Сделано было важное дело: упорядочена структура знания.
Вопрос: если мы набор координат заменили на набор операций, мы то же самое в точности получили, что имели?
Ответ: совсем не то же самое.
Координаты в математику пришли из физики, а от туда ничего ненужного никогда не приходит.
Если в реальной жизни мы смогли ввести координаты (а это есть набор физвеличин), то оказывается, что наша Вселенная устроена, что заданный так геометрический объект всегда отражает некие реальные свойства (хотя, часто и свойства способа измерения тоже, но и тот совершенно реален).
То есть, если у нас есть нечто, для чего мы знаем закон преобразования при замене координат, то оно обязательно соответствует чему-то физически значимому (хотя бы даже и неизмеримому).
Так нетензорные величины столь же важны для физики, как и тензорные.
Математикам же, например, не нравятся коэффициенты линейной связности, потому что они не тензоры; нужно выдумать
инвариантный объект -- связность, который бы, якобы не зависел от выбора координат как бы.
Это важно для математиков потому что сам предмет геометрии по Клейну: только то, что инвариантно, отражает свойства объекта самого по себе, независимо от системы координат.
Только, в физике (то есть -- в реальности) всё не так: система координат -- это часть реальности, и отношения к системам координат соответственно -- реальные свойства.
Если взять, например, окружность, то интуитивно (синтетически) ясно, что это геометрическая фигура.
Инвариант тут -- радиус, но внутри окружности нет никакого стерженька: радиус отражает лишь способ описания окружности; окружность -- это все точки окружности вместе взятые.
Если сплющить окружность, то она превратиться в эллипс, а не в прямоугольник -- это её геометрическое свойство; и тут нет никаких инвариантов, потому что даже самой окружности уже нет.
Геометрия изучает не инварианты групп преобразований, а представления этих групп.
То, против чего восставал В.И. Арнольд (и как я его понял), это понимание математики как некой игры ума, совершенно не связанной с реальной жизнью.
"Математика -- это раздел физики", "Математика и физика -- это два раздела одной науки".
Да любая наука вообще только тем и занимается, что отражает реальность.
С точки зрения материализма вообще невозможно сесть и придумать что-то принципиально новое чисто логическим путём: можно только подсмотреть новое у Природы.
Творческий процесс выдумывания нового -- это лишь не до конца осознанный процесс извлечения ещё не замеченных фактов из уже имеющихся экспериментальных данных.
Если что-то понимается не чётко, не строго, интуитивно, то это только то значит, что нужной степени просветвления не достигнуто пока; нужно пытаться понять, а не просто отбрасывать его.
