Сферическая система координат

[shwedka]

И не видно, как решение для ЭТОГО члена и решение для второго уравнения связаны с полным решением.

[evgeniy]

Я не очень понял, то что ВЫ говорите, но дело в том, что я построил эти углы. Может быть Вы правы в том отношении, что я не могу получить физический смысл этих углов. Я получил функции, для которых угловая часть уравнения Лапласа имеет вид
$\frac{1}{R^2}[\frac{\partial^2 U}{\partial \varphi_1^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial \varphi_2^2}]=0$
ПРичем углы периодические с периодом $0<\varphi_l<2\pi $. Но я не могу получить их физический смысл, может быть и нет таких углов, а просто есть функции $\varphi_l(\psi_1,\psi_2),l=1,2$ .

-- Пн фев 21, 2011 19:26:21 --

Я доказываю операторное равенство
$\frac{1}{\sqrt{g}}[\frac{\partial }{\partial \psi_1}\sqrt{g}g^{11}\frac{\partial }{\partial \psi_1}+\frac{\partial }{\partial \psi_1}\sqrt{g}g^{12}\frac{\partial }{\partial \psi_2}]=\frac{\partial^2}{\partial \varphi_1^2}$
А решение какое получится у нового уравнения. ВСе процедуры направлены на решение операторных уравнений.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #415440 писал(а):

физический смысл этих угло

это как раз в наименьшей степени интересно.

evgeniy в сообщении #415440 писал(а):

Я получил функции, для которых угловая часть уравнения Лапласа имеет вид
$\frac{1}{R^2}[\frac{\partial^2 U}{\partial \varphi_1^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial \varphi_2^2}]=0$

Никакого $\varphi_2^2$ не наблюдается.
вы привели лишь разрозненные преобразования, поэтому не видно, что Вы что-то куда-то преобразовали.

Но, даже после того, как вы все сосчитаете, даже если это преобразование будет подробно написано (а тогда я укажу ошибку, я уже знаю, где она),
Вы встретитесь с проблемой.
В результате замены переменных, стандартная поверхностная мера на сфере превратится в некоторую довольно запутанную меру относительно $d\varphi_1d\varphi_2$. И простые экспоненциальные решения, к которым Вы стремитесь, не будут относительно этой меры ортогональны.

[evgeniy]

Решение для $\varphi_2$ аналогично. При указанном уравнении Лапласа метрический интервал равен
$ds^2=dR^2+R^2(d\varphi_1^2+d\varphi_2^2)$
Следовательно углы ортогональны.
Материал разрознен потому что невозможно в одном посте уместить весь материал, система не позволяет это делать. ОНа приспособлена к коротким сообщениям.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #415467 писал(а):

Следовательно углы ортогональны.

Неверно.
Такая формула для длины давала бы нулевую кривизну. А она у сферы ненулевая.
Значит, где-то проврались..
Когда предъявите подробные вычисления - укажу ошибку.

evgeniy в сообщении #415467 писал(а):

Материал разрознен потому что невозможно в одном посте уместить весь материал, система не позволяет это делать. ОНа приспособлена к коротким сообщениям.

Наберите текст в постороннем редакторе, а потом в форум вклейте по частям.

Цитата:

Следовательно углы ортогональны

Вы перепутали. Я пишу о неортогональности функций, а не углов.

shwedka в сообщении #415462 писал(а):

И простые экспоненциальные решения, к которым Вы стремитесь, не будут относительно этой меры ортогональны.

[evgeniy]

Почему ВЫ считаете, что эта формула дает нулевую кривизну. ПРостое соотношение для окружности $ds=Rd\varphi$ имеет не нулевую кривизну. В формуле оно возводится в квадрат. ОТкуда Вы взяли нулевую кривизну.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #415482 писал(а):

ПРостое соотношение для окружности $ds=Rd\varphi$ имеет не нулевую кривизну.

Вы спутали кривизну кривой на плоскости и
кривизну поверхности в пространстве.

Очень сильно разные вещи.

evgeniy в сообщении #415482 писал(а):

Почему Вы считаете, что эта формула дает нулевую кривизну.

Потому, что ваша метрика на сфере получилась Евклидова, а у Евклидовой метрики нулевая кривизна.

Как раз кривизна и является инвариантом, который никаким выбором координарных функций изменить невозможно.
Почитайте про Гауссову (внутреннюю) кривизну поверхности в произвольной книге по дифференциальной геометрии.
Повторяю,
Укажу ошибку в вычислениях, когда они будут.
А пока удовольствуйтесь констатацией ошибки в результате.

[evgeniy]

Кривизна поверхности определяется двумя перпендикулярными направлениями, ортогональными нормали к поверхности, через каждое из которых можно провести плоскость и рассматриваить поверхность в двух перпендикулярных плоскостях. НИчего я не спутал. Кривизна трехмерной поверхности определяется в двух перпендикулярных плоскостях. И в каждой плоскости имеется своя кривизна. Почитайте дифференциальную геометрию поверхностей. Я этим вопросом уже интересовался.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #415519 писал(а):

И в каждой плоскости имеется своя кривизна.

совершенно верно. Сами кривизны инвариантами не являются,
но их произведение, Гауссова кривизна - инвариант, и не зависит от выбора координатных функций. А у Вас она поменялась. Значит, ошибка.

evgeniy в сообщении #415519 писал(а):

Почитайте дифференциальную геометрию поверхностей. Я этим вопросом уже интересовался.

Нужды нет. Я эту дифференциальную геометрию не раз студентам преподавала. А Вы интересовались, но недостаточно. До Гауссовой кривизны недочитали.

[evgeniy]

Во первых Вы говорили про нулевую кривизну, надеюсь, что теперь Вы это не говорите.
Теперь по поводу инвариантности метрики если взять инвариантную величину в каждом сечении $ds=\rho d\varphi$, то для сферы получится постоянный радиус. Так что у меня с результирующими формулами все в порядке.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #415761 писал(а):

Во первых Вы говорили про нулевую кривизну, надеюсь, что теперь Вы это не говорите.

У сферы кривизна ненулевая.
В соптветствии с вашей формулой

evgeniy в сообщении #415467 писал(а):

$ds^2=dR^2+R^2(d\varphi_1^2+d\varphi_2^2)$

на сфере радиуса R кривизна нулевая. Значит, формула неверна.

evgeniy в сообщении #415761 писал(а):

Теперь по поводу инвариантности метрики если взять инвариантную величину в каждом сечении $ds=\rho d\varphi$,

Бессмысленный набор слов. Сечении чего?

[12d3]

evgeniy в сообщении #415440 писал(а):

Я получил функции, для которых угловая часть уравнения Лапласа имеет вид
$\frac{1}{R^2}[\frac{\partial^2 U}{\partial \varphi_1^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial \varphi_2^2}]=0$
ПРичем углы периодические с периодом $0<\varphi_l<2\pi $. Но я не могу получить их физический смысл, может быть и нет таких углов, а просто есть функции $\varphi_l(\psi_1,\psi_2),l=1,2$ .

Можете привести явный вид этих функций, а то в ваших сообщениях я его не нашел?
Для проверки, в переменных $r, \psi_1, \psi_2$ получается $ ds^2 = dR^2+ \frac{R^2}{(1-\sin^2 \psi_1 \sin^2 \psi_2)^2}\left(\cos^2 \psi_2 d \psi_1 ^2 + \cos^2 \psi_1 d \psi_2 ^2 - \frac12 \sin(2 \psi_1) \sin(2 \psi_2) d \psi_1 d \psi_2\right)$

[evgeniy]

Бессмысленно говорить о нулевой кривизне поверхности сферы, т.е. распремлять эту поверхность. Нулевая кривизна есть только у плоской поверхности. У сферы имеется конечная кривизна поверхности, равная ее радиусу. Причем она равна в любом сечении, проведенном через нормаль к поверхности. В общем случае имеется формула
$\frac{1}{R}=\frac{cos^2\theta}{R_1}+\frac{sin^2\theta}{R_2}$
где угол определяется в касательной плоскости, причем $R_1,R_2$ определяются в перпендикулярных сечениях, таким образом определяется кривизна поверхности, и она нулевая, только у плоской поверхности.
Я понимаю, Вы нашли по Вашему мнению ошибку в рассуждениях, и считаете, что и выводы должны быть не правильны, для этого и придумали нулевую кривизну поверхности. Выводы из рассуждений правильные, а поверхность имеет не нулевую кривизну.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #415791 писал(а):

У сферы имеется конечная кривизна поверхности, равная ее радиусу.

неверно. Гауссова кривизна сферы равна $\frac{1}{R^2}$

Это по Вашей формуле
$ds^2=dR^2+R^2(d\varphi_1^2+d\varphi_2^2)$
при постоянном $R$, те $dR=0$,
получается, что метрический тензор в Ваших координатах-Евклидов

-- получается, что кривизна равно нулю, что есть чепуха.

Есть конкретные формулы для вычисления кривизны поверхности по заданному метрическому тензоры.
Посмотрите, например, у Погорелова, Дифференциальная геометрия, гл.8. Если первая квадратичная фоема-единичная, то по данным там формулам, см стр. 153, в конце 1, все символы Кристоффеля обращаются в нуль,
и потому Гауссова кривизна равна нулю.

Это означает, что

На стандартной сфере невозможно задать координаты с дифференциалом длины дуги $ds^2=R^2(d\varphi_1^2+d\varphi_2^2)$.
ЕСли кто-то, тем не менее, нашел такие координаты, значит, проврался где-то.

Цитата:

Бессмысленно говорить о нулевой кривизне поверхности сферы

Не бессысленно, а неверно. Но у Вас так получается.

evgeniy в сообщении #415791 писал(а):

Нулевая кривизна есть только у плоской поверхности.

Неверно. Например, у любой цилиндрической.

[evgeniy]

Явного вида этих функций не существует, имеется численный алгоритм по их вычислению, в частности для определения внешней части операторного уравнения справедливо $\phi=\int \sqrt{g(\psi_1,\psi_2)}d\psi_1$,
а для решения внутренней части операторного уравнения нужно решить уравнение
$g^{11}\frac{\partial \zeta}{\partial \psi_1}+g^{12}\frac{\partial \zeta}{\partial \psi_2}=\gamma \sqrt{g}$
и тогда угол будет равен $\varphi_1=(\phi+\zeta)\gamma $, где $\gamma$ определяется из условия, чтобы угол $\varphi_1$ имел период $2\pi$.

-- Вт фев 22, 2011 19:31:04 --

Если вы придираетесь к словам, и Гауссова кривизна сферы равна $\frac{1}{R^2}$, то я употребил термин кривизна $\frac{1}{R} $, то заметьте, что гауссова кривизна цилиндра равна нулю.
Метрика формулы получается не Евклидова, так как содержит радиус сомножителем. Кроме того, из физики следует, что угол, это криволинейная поверхность, а не как не Евлидова плоскость. ДЛя нее справедливо $d\sigma^2=dR^2+ds_1^2+ds_2^2$, где величины $ds_l,l=1,2$, это огибающие поверхности. Но при этом кривизна, или если хотите гаусова кривизна не равна нулю. Локальное свойство метрического интервала, что он равен сумме квадратов приращения не означает, что поверхность Евклидова. Так для сферической системы координат имеем $d\sigma^2=dR^2+R^2(d\theta^2+sin^2\theta d\varphi^2)$
и она описывает сферу, а не ЕВклидову плоскость. В обоих формулах есть множитель, делающий поверхность не Евклидовой.