Задачка по теории игр.

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

Я не отметил, что у меня 5-я при нумерации с 1, т.е. Ваша 4-я. У которой вес все равно равен 0. А для Вашей 4-й средняя цена игры = 0. А Вы и не проверили.

Поясните, пожалуйста, что я конкретно не проверил.

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

Я не отметил, что у меня 5-я при нумерации с 1, т.е. Ваша 4-я. У которой вес все равно равен 0. А для Вашей 4-й средняя цена игры = 0. А Вы и не проверили.

Поясните, пожалуйста, что я конкретно не проверил.

1. У меня описка: должно быть не "для Вашей 4-й средняя цена игры = 0", а "для Вашей 5-й средняя цена игры = 0". Или еще точнее "для Вашей 5-й средний выигрыш = 0"
2. Если задана минимаксная смешанная стратегия для одного (скажем 2-го) игрока, то для каждой чистой стратегии другого (здесь 1-го) можно подсчитать средний выигрыш (я написал "средняя цена игры для чистой стратегии", что не совсем точно).
3. Для Вашей задачи эти средние выигрыши для 1-го игрока равны (если я не ошибся в арифметике):
[-12/11; -26/55; 0; 0; -4/5; 0]
Т.е. для чистых стратегий, входящих в смешанную, средние выигрыши равны цене игры, а для остальных средние выигрыши _хуже_. Что и объясняет, почему они не попали в смешанную стратегию.

Это просто такой прием проверки правильности решения игры, вроде подстановки корня в уравнение.

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

"для Вашей 5-й средний выигрыш = 0"

теперь я ничего не понимаю
2. Если задана минимаксная смешанная стратегия для одного (скажем 2-го) игрока, то для каждой чистой стратегии другого (здесь 1-го) можно подсчитать средний выигрыш (я написал "средняя цена игры для чистой стратегии", что не совсем точно).

Yuri Gendelman писал(а):

3. Для Вашей задачи эти средние выигрыши для 1-го игрока равны (если я не ошибся в арифметике):
[-12/11; -26/55; 0; 0; -4/5; 0]
Т.е. для чистых стратегий, входящих в смешанную, средние выигрыши равны цене игры, а для остальных средние выигрыши _хуже_. Что и объясняет, почему они не попали в смешанную стратегию.
Это просто такой прием проверки правильности решения игры, вроде подстановки корня в уравнение.

то есть....

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

3. Для Вашей задачи эти средние выигрыши для 1-го игрока равны (если я не ошибся в арифметике):
[-12/11; -26/55; 0; 0; -4/5; 0]
Т.е. для чистых стратегий, входящих в смешанную, средние выигрыши равны цене игры, а для остальных средние выигрыши _хуже_. Что и объясняет, почему они не попали в смешанную стратегию.
Это просто такой прием проверки правильности решения игры, вроде подстановки корня в уравнение.

то есть....

Что "то есть"? У Вас конкретный вопрос?

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

antoshka1303 писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

3. Для Вашей задачи эти средние выигрыши для 1-го игрока равны (если я не ошибся в арифметике):
[-12/11; -26/55; 0; 0; -4/5; 0]
Т.е. для чистых стратегий, входящих в смешанную, средние выигрыши равны цене игры, а для остальных средние выигрыши _хуже_. Что и объясняет, почему они не попали в смешанную стратегию.
Это просто такой прием проверки правильности решения игры, вроде подстановки корня в уравнение.

то есть....

Что "то есть"? У Вас конкретный вопрос?

откуда [-12/11; -26/55; 0; 0; -4/5; 0]?

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

Это просто такой прием проверки правильности решения игры, вроде подстановки корня в уравнение.

откуда [-12/11; -26/55; 0; 0; -4/5; 0]?

У Вас есть матрица игры. По определению (i,j)-й элемент матрицы задает выигрыш первого игрока при применении им чистой стратегии i против j-й чистой стратегии 2-го игрока.
Теперь пусть есть смешанная стратегия 2-го игрока. Тогда можно подсчитать средний выигрыш для 1-го игрока, если он будет применять чистую стратегию i против смешанной стратегии 2-го игрока. Вот эти средние выигрыши я и привел.

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

antoshka1303 писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

Это просто такой прием проверки правильности решения игры, вроде подстановки корня в уравнение.

откуда [-12/11; -26/55; 0; 0; -4/5; 0]?

У Вас есть матрица игры. По определению (i,j)-й элемент матрицы задает выигрыш первого игрока при применении им чистой стратегии i против j-й чистой стратегии 2-го игрока.
Теперь пусть есть смешанная стратегия 2-го игрока. Тогда можно подсчитать средний выигрыш для 1-го игрока, если он будет применять чистую стратегию i против смешанной стратегии 2-го игрока. Вот эти средние выигрыши я и привел.

Вопрос. Координаты [-12/11; -26/55; 0; 0; -4/5; 0] получились отрицательными, о чем это говорит. И в сумме не дают 1.

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

Вопрос. Координаты [-12/11; -26/55; 0; 0; -4/5; 0] получились отрицательными, о чем это говорит. И в сумме не дают 1.

Сначала цитата:

Yuri Gendelman писал(а):

3. Для Вашей задачи эти средние выигрыши для 1-го игрока равны (если я не ошибся в арифметике):
[-12/11; -26/55; 0; 0; -4/5; 0]
Т.е. для чистых стратегий, входящих в смешанную, средние выигрыши равны цене игры, а для остальных средние выигрыши _хуже_. Что и объясняет, почему они не попали в смешанную стратегию.
Это просто такой прием проверки правильности решения игры, вроде подстановки корня в уравнение.

Дело не в их знаке, а в том, что:
0. Средние выигрыши для 1-го игрока посчитаны для оптимальной смешанной стратегии 2-го игрока.
1. Наилучшее (максимальное для 1-го игрока) значение среднего выигрыша равно цене игры.
2. Три чистые стратегии с таким средним выигрышем входят в оптимальную смешанную стратегию 1-го игрока.
3. Три чистые стратегии со средним выигрышем, который хуже (для 1-го - меньше) цены игры, НЕ входят в оптимальную смешанную стратегию 1-го игрока.

Итого: противоречий не обнаружено. Если средние выигрыши для 2-го игрока тоже проходят такую проверку (в Вашей задаче это очевидно), то решение игры верное.

[antoshka1303]

Теперь такой вопрос. Я нашел стратегию.Как доказать, что она является единственной оптимальной стратегией и других нет.

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

Координаты [-12/11; -26/55; 0; 0; -4/5; 0] получились отрицательными, о чем это говорит.

Я уже на этот вопрос отвечал. Знак не говорит ни о чем. Существенно только из сравнение с ценой игры.

antoshka1303 писал(а):

И в сумме не дают 1.

Ну и не надо. Это же не вероятности, а средние выигрыши.

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

antoshka1303 писал(а):

Координаты [-12/11; -26/55; 0; 0; -4/5; 0] получились отрицательными, о чем это говорит.

Я уже на этот вопрос отвечал. Знак не говорит ни о чем. Существенно только из сравнение с ценой игры.

antoshka1303 писал(а):

И в сумме не дают 1.

Ну и не надо. Это же не вероятности, а средние выигрыши.

Теперь такой вопрос. Я нашел стратегию.Как доказать, что она является единственной оптимальной стратегией и других нет. То есть в задаче сказано,что нужно найти все оптимальные стратегии.
В задаче я нашел смешанную стратегию (в матрице при n=5), она является оптимальной по теореме равновесия. А как доказать, что эта стратегия является единственной?