Ряд , сходимость

[myra_panama]

Исследовать на сходимость ряда:
$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac1{\ln n} \cos(n(x+\ln{\ln n}))$
ммм странно по моему ряд сходиться при всех x , но как то не могу доказать...

[gris]

Ряд получается с более-менее равномерным и случайным чередованием знаков, которые не связаны статистически со значениями косинуса. Трудно представить, что он будет расходиться.

[myra_panama]

мм но не знаю .. как то не понятно , аргумент косинуса как то .

[gris]

То, что аргумент косинуса быстро и ускоренно растёт, и обеспечивает чередование знаков.
Ряд $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac1{\ln n} \cos\dfrac{x+\ln{\ln n}}n$ уж точно расходится.
Но это, конечно, чисто эвристическо предположение — о сходимости. Строго доказать и не видно как.

[myra_panama]

может найдется такая x , что ряд сходиться .... черт по моему нет ...

[Null]

Надо просто подобрать такой $n$,что$\ln\ln n+x\approx 2\pi k$ и набрать большую сумму.

[myra_panama]

Null в сообщении #414699 писал(а):

Надо просто подобрать такой $n$,что$\ln\ln n+x\approx 2\pi k$ и набрать большую сумму.

если так , то можно достаточно смотрет , ряд...м

$$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac1{\ln n} $$

не такли???

[gris]

Этот ряд расходится. А вот если добавить в числитель $(-1)^n$, то он будет сходиться по признаку Лейбница.
Если знаки будут чередоваться случайно, но равновероятно, то я не знаю, что в теории говорится. Мне кажется, что ряд будет сходиться. Если случайно меняется коэффициент при членах, оставаясь по модулю меньшим единицы, то я верю, что ряд сходится.
А у Вас как раз этот коэффициент псевдослучайно меняется. Приблизить его к $2\pi k$ вряд ли удастся при любом $x$.

[myra_panama]

myra_panama в сообщении #414717 писал(а):

Приблизить его к $2\pi k$ вряд ли удастся при любом $x$.

это значит ,что найдется хотя бы такое x , что можно исследовать(хотя приблизить к $2\pi k$ не чего не даст...ммм).......

[gris]

$x$ вообще никак не влияет, тем более, что по $x$ общий член периодичен с периодом $2\pi$

[myra_panama]

да пусть расходитьсЯ...
а что можно делать с таким рядом:
$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{\ln{(\ln n)}}{(\ln n)^a}$

[gris]

расходится однозначно. Логарифм растёт медленней любой степени, поэтому тут минорируется гармоническим рядом, начиная с некоторого номера при любой альфе.
Но почему "пусть расходится"? Я уверен, что Ваш первоначальный ряд сходится.

Кстати, интересный вопрос в русле задачи. Пусть случайная величина $p$ равномерно распределена на отрезке $[-1;1]$. Какова вероятность, что ряд $\sum\dfrac {p(i)} n$ сходится.

[svv]

Сделаем в первоначальном ряде замену $x=2\pi t$, тогда ряд зависит только от дробной части $t$. На компьютере вот что получается. Есть точка, примерно $\{t\}=0.57$, в которой ряд, похоже, расходится. Левее от этой точки сумма резко становится совершенно спокойной, и при уменьшении $t$ колеблется с возрастающей амплитудой и частотой, и при приближении справа налево к следующей $t$ с такой дробной частью амплитуда и частота колебаний возрастают до бесконечности.

[Null]

Вероятность 1. Сумма дисперсий сходиться. Распределение суммы будет нормальным.

[ewert]

gris в сообщении #414740 писал(а):

Я уверен, что Ваш первоначальный ряд сходится.

Вам давит на психику сходимость ряда $\sum\dfrac{\cos(nx)}{\ln n}$. Да, он сходится, но при разных иксах -- с разной скоростью, а при некоторых иксах -- и вовсе уверенно расходится, будучи знакоопределённым. Добавка к иксу слагаемого $\ln\ln n$ заставляет тот икс медленно-медленно эдак дрейфовать, в результате чего участки, характерные для сходящегося ряда, чередуются с участками, характерными для расходящегося. И удлинняются те (вторые) участки достаточно быстро для того, чтобы ряд, следуя мудрому совету Null, всё-таки разошёлся (по критерию Коши).