В учебниках по математическому анализу обычно приводят два равносильных определения предела — в терминах окрестностей и в терминах эпсилон-дельта. Причём последнее совершенно одинаково у всех авторов с точностью до обозначения номера последовательности, начиная с которого начинается выполнение известного неравенства:
![$N, N_{\varepsilon}, n_{\varepsilon}$ $N, N_{\varepsilon}, n_{\varepsilon}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/e/e2e1ce80134a292432ac4c2e432f8ebb82.png)
, что, разумеется, несущественно.
С помощью этого самого номера обычно не
ищут предел, а
доказывают, что некоторое число является пределом данной последовательности. Сами пределы находят другими способами, часто интуитивно или даже с помощью калькулятора.
Иногда поиск такого
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
для заданного
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
является единственным способом строгого доказательства существования предела, иногда это чисто практическая задача, но чаще — учебное упражнение "доказательства по определению". В случае монотонно сходящейся последовательности поиск
![$ N_{\varepsilon}$ $ N_{\varepsilon}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/1/6e1c08279258d6561c2244081dd8880b82.png)
сводится к решению уравнения, к оценке корня и т.п. Бывает, что это довольно сложная задача, если последовательность сходится не монотонно.
Материал с достаточным количеством примеров изложен у Фихтенгольца, Зорича, да и в других промежуточных по стилю учебниках.