В учебниках по математическому анализу обычно приводят два равносильных определения предела — в терминах окрестностей и в терминах эпсилон-дельта. Причём последнее совершенно одинаково у всех авторов с точностью до обозначения номера последовательности, начиная с которого начинается выполнение известного неравенства:
, что, разумеется, несущественно.
С помощью этого самого номера обычно не
ищут предел, а
доказывают, что некоторое число является пределом данной последовательности. Сами пределы находят другими способами, часто интуитивно или даже с помощью калькулятора.
Иногда поиск такого
для заданного
является единственным способом строгого доказательства существования предела, иногда это чисто практическая задача, но чаще — учебное упражнение "доказательства по определению". В случае монотонно сходящейся последовательности поиск
сводится к решению уравнения, к оценке корня и т.п. Бывает, что это довольно сложная задача, если последовательность сходится не монотонно.
Материал с достаточным количеством примеров изложен у Фихтенгольца, Зорича, да и в других промежуточных по стилю учебниках.
