Предел последовательности

[usr00210]

Когда-то в "школе" научили как обезьяну пользоваться формулами для вычисления пределов последовательностей, а сейчас вот хочу понять четко, сто процентно, железобетонно, что есть предел! читаю матан разных авторов и не понимаю =( хоть убейся не понимаю доказательств и выводов. само определение понимаю на интуитивном уровне. но вот как они (авторы) находят "эн большое от эпсилон" и тем самым находят предел - не понимаю!

Посоветуйте материал, который наипреподробнейшим образом объясняет двоечнику что есть предел. Без всяких там "очевидно" и "естественно"... И желательно чтобы было побольше таких же подробных примеров.

Заранее спасибо!

[gris]

В учебниках по математическому анализу обычно приводят два равносильных определения предела — в терминах окрестностей и в терминах эпсилон-дельта. Причём последнее совершенно одинаково у всех авторов с точностью до обозначения номера последовательности, начиная с которого начинается выполнение известного неравенства: $N, N_{\varepsilon}, n_{\varepsilon}$, что, разумеется, несущественно.

С помощью этого самого номера обычно не ищут предел, а доказывают, что некоторое число является пределом данной последовательности. Сами пределы находят другими способами, часто интуитивно или даже с помощью калькулятора.

Иногда поиск такого $N$ для заданного $\varepsilon$ является единственным способом строгого доказательства существования предела, иногда это чисто практическая задача, но чаще — учебное упражнение "доказательства по определению". В случае монотонно сходящейся последовательности поиск $ N_{\varepsilon}$ сводится к решению уравнения, к оценке корня и т.п. Бывает, что это довольно сложная задача, если последовательность сходится не монотонно.

Материал с достаточным количеством примеров изложен у Фихтенгольца, Зорича, да и в других промежуточных по стилю учебниках.

[Mitrius_Math]

Usr00210, посмотрите книгу "Основы математического анализа" Ильина и Позняка. Лучше и проще, чем там, изложения теории пределов я не видел. Кроме того, найдите пособие "Математический анализ в вопросах и задачах", авторы - Бутузов, Крутицкая и др. Там много примеров и задач на доказательство.