Сосчитаем треугольники (вроде, несложная, но что-то не так)

[Xenia1996]

Сколько существует треугольников с целочисленными длинами сторон, длина одной из которых - простое число, другой - степень двойки (с натуральным показателем), а третьей - квадрат нечётного числа?

(скромная попытка)

Пусть p - достаточно большое простое число, $2^n$ - наименьшая степень двойки, превышающая p. Тогда любая третья сторона, большая $2^{n-1}$ и меньшая $2^n$ удовлетворяет неравенству треугольника. Осталось доказать, что для достаточно больших n между $2^{n-1}$ и $2^n$ лежит хотя бы один квадрат нечётного числа. Корни двух соседних степеней двойки отличаются в $\sqrt 2$ раз. Если $2^{n-1}>100$, то между этими степенями лежат квадраты более трёх последовательных натуральных чисел, хотя бы одно из которых является нечётным. Следовательно, всегда можно подобрать третью сторону, отвечающую условию задачи. Таким образом, ответ: бесконечно много.

Что я проглядела в этом решении?

(Оффтоп)

Вот мне внутренний голос подсказал, что нужно доказать бесконечность множества простых чисел вида $2^n-1$ и тогда легко решается - третья сторона будет равна, скажем, 9, а первые две, соответственно $2^n-1$ и $2^n$ Но как эту бесконечность доказать?

[svv]

Число_Мерсенна
Посмотрите пункты "Простые числа Мерсенна", "Открытые проблемы".

[Xenia1996]

svv в сообщении #412374 писал(а):

[url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Число_Мерсенна[/url]
Посмотрите пункты "Простые числа Мерсенна", "Открытые проблемы".

А в первом решении какая ошибка?
...................

(Оффтоп)

А насчёт открытой проблемы чисел Мерсенна, я спецом задачу про треугольники запостила, чтобы на Мерсенна через неё выйти. Полагаю, проблема Мерсенна неоднократно обсуждалась на этом форуме, ссылочку не подкинете?

[svv]

Я не нашел ошибки.
Посмотрите ещё http://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_conjectures

[Sonic86]

Xenia1996 писал(а):

Вот мне внутренний голос подсказал, что нужно доказать бесконечность множества простых чисел вида $2^n-1$ и тогда легко решается - третья сторона будет равна, скажем, 9, а первые две, соответственно $2^n-1$ и $2^n$ Но как эту бесконечность доказать?

Насколько мне известно, существуют лишь доказательства бесконечности числа простых чисел в арифметической прогрессии $an+d$ с $\gcd (a;d)=1$. Общее доказательство - у Дирихле. Других доказательств, в т.ч. и о числах Мерсенна, я не знаю.
Т.е. если Вы вдруг при решении задачи обнаруживаете, что Вам требуется бесконечность простых чисел какого-то типа, кроме как в арифметической прогрессии - знайте! это очень трудновыполнимое требование.