Сколько существует треугольников с целочисленными длинами сторон, длина одной из которых - простое число, другой - степень двойки (с натуральным показателем), а третьей - квадрат нечётного числа?
(скромная попытка)
Пусть p - достаточно большое простое число,

- наименьшая степень двойки, превышающая p. Тогда любая третья сторона, большая

и меньшая

удовлетворяет неравенству треугольника. Осталось доказать, что для достаточно больших n между

и

лежит хотя бы один квадрат нечётного числа. Корни двух соседних степеней двойки отличаются в

раз. Если

, то между этими степенями лежат квадраты более трёх последовательных натуральных чисел, хотя бы одно из которых является нечётным. Следовательно, всегда можно подобрать третью сторону, отвечающую условию задачи. Таким образом, ответ: бесконечно много.
Что я проглядела в этом решении?
(Оффтоп)
Вот мне внутренний голос подсказал, что нужно доказать бесконечность множества простых чисел вида

и тогда легко решается - третья сторона будет равна, скажем, 9, а первые две, соответственно

и

Но как эту бесконечность доказать?