Расшифровка условия Липшица

[kotjara2]

Добрый день, дорогие форумчане. Прошу помочь, посоветовать, литературу подсказать.
Задача такая. Мы рассматриваем дифференциальные уравнения первого порядка с одним запаздыванием (ДУсЗА).
Привожу теорию.
$y'(s)=f(s, y(s), y(s-\tau(s))) (0 \le s \le 1), y(t)=\varphi(t),(\mu \le t \le 0), \newline \mu=\min[s-\tau(s)] \le 0$
где функция $y$ -непрерывная на отрезке $[\mu, 1]$, гладкая на $[0,1]$
непрерывная функция $\varphi(s)$ определена при $ \mu \le s \le 0 $.
Обозначим $w(s)=y(s-\tau(s)), x(s)=y'(s)$.
Выставим условия на некоторой достаточно большой области $E \subset X=C(0,1)$ функции x. Композиция $|f(\cdot,y+\Delta y, w+\Delta w)-f(\cdot,y,w)-a \Delta y| \le b_1 |\Delta y|+b_2 |\Delta w|$, где функции $a, b_i$-непрерывны, причем $b_i(s) \ge 0$.
Приращению $\Delta x$соответсвуют приращения $\Delta y =\int_{0}^{s} \Delta y dt, \Delta w=0 (s \le \tau(s)), \Delta w(s)= \int_{0}^{s-\tau(s)} \Delta x(t) dt (s \ge \tau(s))$.
Введем числа $\alpha, \beta$такие, что
$\alpha \ge |a(s)|, \beta \ge b_1(s)+b_2(s)$

И я хочу получить функции $a(s), b_1(s),b_2(s)$.Это мне нужно для того, чтобы получить порядковый отрезок, которому должны удовлетворять начальные приближения, для того, чтобы метод сходился. Там особая формула, куда нужно подставить эти функции $a(s), b_1(s),b_2(s)$. Решаю ДУсЗА численным, итерационным методом .

Композиция $|f( \cdot,y+\Delta y, w+\Delta w)-f(\cdot,y,w)-a \Delta y|\le b_1 |\Delta y|+b_2 |\Delta w|$
как я понимаю, трактуется следующим образом:
$a(s) \le |f'_y(\cdot,y,w)| \le b_1(s), |f'_w(\cdot,y,w)| \le b_2(s)$
Вопрос , как найти $a(s), b_1(s), b_2(s)$.Помогите, пожалуйста.
-- Вс фев 13, 2011 11:54:59 --

Если бы $|f'_y(\cdot,y,w)|=const, |f'_w(\cdot,y,w)|=const2$, на мой взгляд, тогда
$a(s)=|f'_y(\cdot,y,w)|=b_1(s)=const, |f'_w(\cdot,y,w)|=b_2(s)=const2$
Все понятно.
А если $|f'_y(\cdot,y,w)|, |f'_w(\cdot,y,w)|$, не являются константами, как найти $a(s), b_1(s), b_2(s)$, я в панике.....
Помогите, пожалуйста.

[PAV]

Формулы нечитабельны. Вы неправильно их набираете, из-за этого неправильные шрифты. Каждую формулу нужно окружить знаками долларов, а тег math можно самому и не добавлять, он будет добавлен автоматически. Подробнее об этом можно прочитать во втором сообщении темы Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться, раздел "Чем окружать формулы". Отредактируйте, пожалуйста, свое сообщение. Тема переносится в карантин до исправления

[PAV]

Возвращено

[kotjara2]

Давайте рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение.
1)Моя задача найти: функции $a(s), b_1(s)$.
Вот что написал препод:

Цитата:

$f(s,y(s))=s \cdot y^2(s), y'=s y^2, y(0)=const, s \in [0,1]$(0)
дана формула Липшица:
$|f(\cdot ,y+\Delta y)-f(\cdot,y)-a \cdot \Delta y|<=b_1 |\Delta y|, a=a(s), b_1(s)=?$(1)
$f'_y=2sy, f(\cdot, y+\Delta y)-f(\cdot,y)=s(2y \Delta y+{\Delta y}^2)=2sy \Delta y+s {\Delta y}^2$
Преобразуем (1) к виду:
$|{{f(\cdot,y+\Delta y)-f(\cdot,y)}\over{\Delta y}}-a|<=b_1 $
В нашем случае получается, что
$|{{f(\cdot,y+\Delta y)-f(\cdot,y)}\over{\Delta y}}-a|=|2sy(s)+s \Delta y(s)-a(s)|<=b_1(s)$
Если известно, что $|y(s)|<=10$,
Если выберем $a(s)=2s y(s)$, тогда если $a(s)=2s \cdot 10=20s$=>
$|2s y(s)+s \Delta y(s)-20s|=|2s(y(s)-10)+s \Delta y(s)|=s|2y(s)-20+\Delta y|<=s(|2 \cdot y(s)-20|+|\Delta y|)<=60s$

-- Вт фев 15, 2011 15:19:34 --

Препод также спрашивал:

Цитата:

Дано (0), может ли быть $y(1)=100$ для этой задачи ?

Я не знаю, как отвечать на этот вопрос. Он спрашивал, можно не решая задачу(0), определить чем будет ограничено $|y(s)|$.
(и привел в качестве решения алгебраическое уравнение и написал, чем ограничены корни уравнения)

2)То есть, я не понимаю, откуда он взял $|y(s)|<=10$,это положили, или это откуда то вытекает. Помогите пожалуйста.
Из функционального анализа про сильный дифференциал (например, Колмогоров, Фомин Элементы теории функции и функционального анализа, глава 10 Элементы дифференциального исчисления в линейных пространствах)

Цитата:

Пусть X, Y -два нормированных пространства, и F отображение, действующее из X в Y и определенное на некотором открытом подмножестве O, пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке $x \in O$, если существует такой ограниченный линейный оператор $L_x \in L(X,Y)$, что для любого $\epsilon>0$ можно найти $\delta>0$, при котором из неравенства $||x||<\delta$=>
$||F(x+h)-F(x)-L_x h||<=\epsilon ||x||$

3)Из этого я так понимаю, что $a(s)$-сильная производная Фреше, так?
Помогите, пожалуйста.