2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расшифровка условия Липшица
Сообщение13.02.2011, 11:50 


25/11/10
6
Добрый день, дорогие форумчане. Прошу помочь, посоветовать, литературу подсказать.
Задача такая. Мы рассматриваем дифференциальные уравнения первого порядка с одним запаздыванием (ДУсЗА).
Привожу теорию.
$y'(s)=f(s, y(s), y(s-\tau(s))) (0 \le s \le 1), 
y(t)=\varphi(t),(\mu \le t \le 0), \newline
\mu=\min[s-\tau(s)] \le 0$
где функция $y$ -непрерывная на отрезке $[\mu, 1]$, гладкая на $[0,1]$
непрерывная функция $\varphi(s)$ определена при $ \mu \le s \le 0 $.
Обозначим $w(s)=y(s-\tau(s)), x(s)=y'(s)$.
Выставим условия на некоторой достаточно большой области $E \subset X=C(0,1)$ функции x. Композиция $|f(\cdot,y+\Delta y, w+\Delta w)-f(\cdot,y,w)-a \Delta y| \le b_1 |\Delta y|+b_2 |\Delta w|$, где функции $a, b_i$-непрерывны, причем $b_i(s) \ge 0$.
Приращению $\Delta x$соответсвуют приращения $\Delta y =\int_{0}^{s} \Delta y dt, \Delta w=0 (s \le \tau(s)), \Delta w(s)= \int_{0}^{s-\tau(s)} \Delta x(t) dt (s \ge \tau(s))$.
Введем числа $\alpha, \beta$такие, что
$\alpha \ge |a(s)|, \beta \ge b_1(s)+b_2(s)$

И я хочу получить функции $a(s), b_1(s),b_2(s)$.Это мне нужно для того, чтобы получить порядковый отрезок, которому должны удовлетворять начальные приближения, для того, чтобы метод сходился. Там особая формула, куда нужно подставить эти функции $a(s), b_1(s),b_2(s)$. Решаю ДУсЗА численным, итерационным методом .

Композиция $|f( \cdot,y+\Delta y, w+\Delta w)-f(\cdot,y,w)-a \Delta y|\le b_1 |\Delta y|+b_2 |\Delta w|$
как я понимаю, трактуется следующим образом:
$a(s) \le |f'_y(\cdot,y,w)| \le b_1(s), |f'_w(\cdot,y,w)| \le b_2(s)$
Вопрос , как найти $a(s), b_1(s), b_2(s)$.Помогите, пожалуйста.
-- Вс фев 13, 2011 11:54:59 --

Если бы $|f'_y(\cdot,y,w)|=const, |f'_w(\cdot,y,w)|=const2$, на мой взгляд, тогда
$a(s)=|f'_y(\cdot,y,w)|=b_1(s)=const, |f'_w(\cdot,y,w)|=b_2(s)=const2$
Все понятно.
А если $|f'_y(\cdot,y,w)|, |f'_w(\cdot,y,w)|$, не являются константами, как найти $a(s), b_1(s), b_2(s)$, я в панике.....
Помогите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расшифровка условия Липшица
Сообщение13.02.2011, 12:38 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
 !  Формулы нечитабельны. Вы неправильно их набираете, из-за этого неправильные шрифты. Каждую формулу нужно окружить знаками долларов, а тег math можно самому и не добавлять, он будет добавлен автоматически. Подробнее об этом можно прочитать во втором сообщении темы Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться, раздел "Чем окружать формулы". Отредактируйте, пожалуйста, свое сообщение. Тема переносится в карантин до исправления

 Профиль  
                  
 
 Re: Расшифровка условия Липшица
Сообщение13.02.2011, 15:35 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
 i  Возвращено

 Профиль  
                  
 
 Re: Расшифровка условия Липшица
Сообщение15.02.2011, 15:04 


25/11/10
6
Давайте рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение.
1)Моя задача найти: функции $a(s), b_1(s)$.
Вот что написал препод:
Цитата:
$f(s,y(s))=s \cdot y^2(s), y'=s y^2, y(0)=const, s \in [0,1]$(0)
дана формула Липшица:
$|f(\cdot ,y+\Delta y)-f(\cdot,y)-a \cdot \Delta y|<=b_1 |\Delta y|, a=a(s), b_1(s)=?$(1)
$f'_y=2sy, 
f(\cdot, y+\Delta y)-f(\cdot,y)=s(2y \Delta y+{\Delta y}^2)=2sy \Delta y+s {\Delta y}^2$
Преобразуем (1) к виду:
$|{{f(\cdot,y+\Delta y)-f(\cdot,y)}\over{\Delta y}}-a|<=b_1 $
В нашем случае получается, что
$|{{f(\cdot,y+\Delta y)-f(\cdot,y)}\over{\Delta y}}-a|=|2sy(s)+s \Delta y(s)-a(s)|<=b_1(s)$
Если известно, что $|y(s)|<=10$,
Если выберем $a(s)=2s y(s)$, тогда если $a(s)=2s \cdot 10=20s$=>
$|2s y(s)+s \Delta y(s)-20s|=|2s(y(s)-10)+s \Delta y(s)|=s|2y(s)-20+\Delta y|<=s(|2 \cdot y(s)-20|+|\Delta y|)<=60s$


-- Вт фев 15, 2011 15:19:34 --

Препод также спрашивал:
Цитата:
Дано (0), может ли быть $y(1)=100$ для этой задачи ?

Я не знаю, как отвечать на этот вопрос. Он спрашивал, можно не решая задачу(0), определить чем будет ограничено $|y(s)|$.
(и привел в качестве решения алгебраическое уравнение и написал, чем ограничены корни уравнения)

2)То есть, я не понимаю, откуда он взял $|y(s)|<=10$,это положили, или это откуда то вытекает. Помогите пожалуйста.
Из функционального анализа про сильный дифференциал (например, Колмогоров, Фомин Элементы теории функции и функционального анализа, глава 10 Элементы дифференциального исчисления в линейных пространствах)
Цитата:
Пусть X, Y -два нормированных пространства, и F отображение, действующее из X в Y и определенное на некотором открытом подмножестве O, пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке $x \in O$, если существует такой ограниченный линейный оператор $L_x \in L(X,Y)$, что для любого $\epsilon>0$ можно найти $\delta>0$, при котором из неравенства $||x||<\delta$=>
$||F(x+h)-F(x)-L_x h||<=\epsilon ||x||$

3)Из этого я так понимаю, что $a(s)$-сильная производная Фреше, так?
Помогите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group