Информационная ёмкость чисел

[migmit]

Андрей АK в сообщении #412072 писал(а):

Нет никакого способа из множества открытых множеств перейти в множество замкнутых ... кроме как используя операцию $XOR$ - сложение по модулю 2.

$$\bigcap_{N=1}^\infty\left(1-\frac1N,2+\frac1N\right)=[1,2]$$

И где тут XOR?

Андрей АK в сообщении #412072 писал(а):

Но отрицание, в доказательствах, - это не корректный метод.

Чушь собачья.

[Андрей АK]

migmit в сообщении #412080 писал(а):

Андрей АK в сообщении #412072 писал(а):

Нет никакого способа из множества открытых множеств перейти в множество замкнутых ... кроме как используя операцию $XOR$ - сложение по модулю 2.

$$\bigcap_{N=1}^\infty\left(1-\frac1N,2+\frac1N\right)=[1,2]$$

И где тут XOR?

Сдается мне, что вы не те скобки справа написали - надо круглые.

migmit в сообщении #412080 писал(а):

Андрей АK в сообщении #412072 писал(а):

Но отрицание, в доказательствах, - это не корректный метод.

Чушь собачья.

У меня на это есть доводы.
Любое доказательство можно представить в виде графа - каждая стрелка, это вывод.
Из какого-то (заранее определенного множества) можно провести стрелку к другому множеству, но стрелка из дополнения - это стрелка из пустоты (если полное Единичное множество не было определено).
Определив какое то множество, нельзя ,тем самым, определить его дополнения - это два независимых множества.
Дополнение можно определить, только определив Единичное множество.

Есть еще один довод в пользу того, что отрицание (точнее операция $XOR$ не может применяться в доказательствах.
Правда моя логика может показаться кому-то странной ...
Если принять, что процесс вывода - это эволюционный процесс - т.е. действует подобно оператору эволюции $\exp(tX)$
Но подобные операторы всегда образуют группу по времени (т.е. ,например, ,интерпретируя его как процесс вывода, мы всегда можем ,обратив время, узнать из каких предпосылок был сделан тот или иной вывод).
Если не будет группы по времени, то всякий вывод у нас будет однонаправленной функцией.
А теперь вспомним, что группы бывают только при наличии только одной операции!
Операции объединения и пересечения множеств - это ,по сути, одна и та же операция (умножения) - две её двойственные половины.
Поэтому на них открытые множества и образуют группу.
А вот операция $XOR$ - это операция сложения.
Имея операцию сложения и умножения мы получаем кольцо!
А на кольце ,если мы определим группу, то операция сложения всегда будет выводить нас за пределы группы по умножению или операция умножения будет выводить нас за пределы группы по сложению (за исключением вырожденных случаев).
Т.е. использование двух операций может нарушить "'эволюционность" вывода.

(То что я только что привел - это не доказательство, а только попытка понять - почему операция отрицания может быть некорректной в теоремах)

[ewert]

Андрей АK в сообщении #412119 писал(а):

Сдается мне, что вы не те скобки справа написали - надо круглые.

Не надо.

[migmit]

Андрей АK в сообщении #412119 писал(а):

Сдается мне, что вы не те скобки справа написали - надо круглые.

Попробуйте применить голову.

Андрей АK в сообщении #412119 писал(а):

Любое доказательство можно представить в виде графа - каждая стрелка, это вывод.
Из какого-то (заранее определенного множества) можно провести стрелку к другому множеству

В доказательстве множества не участвуют. В доказательстве участвуют утверждения.

[Андрей АK]

А как же в топологии сказано про Топологическое_пространство:

Там везде говорится что объединение любого количества открытых множеств - открытое множество (замкнутых - замкнутое).
Или я что-то пропустил?
Что есть теорема где сказано, что объединение бесконечного количества открытых множеств может быть замкнуто?

PS А я не заметил что это пересечение извиняюсь

[migmit]

Андрей АK в сообщении #412194 писал(а):

объединение любого количества открытых множеств - открытое множество

Верно.

Андрей АK в сообщении #412194 писал(а):

замкнутых - замкнутое

Неверно.

Андрей АK в сообщении #412194 писал(а):

объединение

А теперь смотрим на то, что написано в моём комменте НА САМОМ ДЕЛЕ.

[ewert]

Андрей АK в сообщении #412194 писал(а):

Там везде говорится что объединение любого количества открытых множеств - открытое множество (замкнутых - замкнутое).

Это верно только для объединения открытых. А замкнутых, соответственно -- для их пересечения.

Андрей АK в сообщении #412194 писал(а):

Что есть теорема где сказано, что объединение бесконечного количества открытых множеств может быть замкнуто?

Во-первых -- да, может. Во-вторых, такой теоремы в принципе не может быть -- подобные вопросы решаются не теоремами, а примерами. В-третьих: а при чём тут вообще объединение?...

[Андрей АK]

Да я ошибся - принял пересечение за объединение.

Ну все равно что-то здесь не то ...

Если пересечение двух открытых множеств - всегда открыто, то как может быть пересечение пусть даже бесконечного количества множеств - замкнуто?

[migmit]

Андрей АK в сообщении #412208 писал(а):

Если пересечение двух открытых множеств - всегда открыто, то как может быть пересечение пусть даже бесконечного количества множеств - замкнуто?

У вас проблемы с пониманием примера?

[Андрей АK]

migmit в сообщении #412211 писал(а):

Андрей АK в сообщении #412208 писал(а):

Если пересечение двух открытых множеств - всегда открыто, то как может быть пересечение пусть даже бесконечного количества множеств - замкнуто?

У вас проблемы с пониманием примера?

Хорошо, отложим этот вопрос для другой темы.
По крайней мере для конечного числа рассуждений (любое доказательство ведь состоит из конечного числа рассуждений?) мои доводы остаются в силе: Без операции отрицания из множества открытых множеств не получить замкнутое, за конечное число шагов.

И пора сделать вывод ,касающийся темы.

У нас есть два множества (находящихся в отношениях так же как и открытые и замкнутые множества): это счетные и несчетные числа.
У счетных чисел информационная ёмкость конечна, у несчетных - бесконечна.

А теперь можно вспомнить про случайные последовательности.
Они ведь бывают и ограниченными (не бесконечными), но ведут они себя асимптотически как несчетные числа!

Что я имею ввиду:
Если у нас есть генератор псевдослучайных чисел и есть генератор истинно-случайных чисел - то последовательности, которые они выдают, по разному изменяют свою информационную ёмкость с добавлением каждого следующего числа.

1) Псевдослучайные числа: с каждым новым числом у нас появляется все больше информации для того чтоб вычислить алгоритм по которому выдаются эти числа, мы со все большей точностью начинаем предсказывать: какое число появится следующим и ,в пределе, можем вычислить точный алгоритм генерации наших псевдослучайных чисел!
И таким образом задать весь список чисел конечной последовательностью знаков.
Т.е. с добавлением каждого нового числа в последовательности псевдослучайных чисел их совокупная информационная ёмкость уменьшается.

2) Истинно случайные числа: с каждым новым числом нам все труднее и труднее становится подобрать такой алгоритм (архиватор) который бы описывал весь список случайных чисел. Если для короткой последовательности случайных чисел можно создать "персональный архиватор" алгоритм который сможет сжать нашу последовательность чисел до меньшей длины (вместе с кодом архиватора) то с добавлением каждого нового числа, сделать это становится все труднее и труднее и в пределе - невозможно.

Т.е. случайные числа - это как бы конечные представители того самого множества невычислимых чисел (не даром примеры невычислимых чисел не могут обойтись без случайных алгоритмов).

Значит, информационную ёмкость для случайных последовательностей и для псевдослучайных последовательностей надо оценивать по разным критериям и алгоритмам.

[Андрей АK]

migmit в сообщении #412080 писал(а):

Андрей АK в сообщении #412072 писал(а):

Нет никакого способа из множества открытых множеств перейти в множество замкнутых ... кроме как используя операцию $XOR$ - сложение по модулю 2.

$$\bigcap_{N=1}^\infty\left(1-\frac1N,2+\frac1N\right)=[1,2]$$

И где тут XOR?

А , я понял!
Самое последнее множество (когда $N$ равно бесконечности) - это уже не открытое, а замкнутое множество!
Т.е. в этом примере: пересечение нескольких открытых и одного замкнутого $[1,2]$.
Из-за него и весь результат - замкнутое множество.

[ewert]

Андрей АK в сообщении #412224 писал(а):

Если у нас есть генератор псевдослучайных чисел и есть генератор истинно-случайных чисел

Последних не бывает.

[Someone]

Андрей АK в сообщении #412249 писал(а):

Самое последнее множество (когда $N$ равно бесконечности) - это уже не открытое, а замкнутое множество!

Бред. В натуральном ряде нет "последнего" числа и нет числа, равного бесконечности. И замкнутого множества среди интервалов $\left(1-\frac1N,2+\frac1N\right)$ тоже нет.

[Андрей АK]

ewert в сообщении #412261 писал(а):

Андрей АK в сообщении #412224 писал(а):

Если у нас есть генератор псевдослучайных чисел и есть генератор истинно-случайных чисел

Последних не бывает.

Тогда не бывает и невычислимых чисел.

-- Сб фев 12, 2011 20:25:19 --

Someone в сообщении #412288 писал(а):

Андрей АK в сообщении #412249 писал(а):

Самое последнее множество (когда $N$ равно бесконечности) - это уже не открытое, а замкнутое множество!

Бред. В натуральном ряде нет "последнего" числа и нет числа, равного бесконечности. И замкнутого множества среди интервалов $\left(1-\frac1N,2+\frac1N\right)$ тоже нет.

А к чему стремится интервал $(1-\frac1N,1]$?
Мне кажется, к интервалу $[1,1]$ т.е. к точке $1$

В конце концов, это только вопрос договоренности - входит ли в бесконечный ряд его предельная точка или нет.

[Someone]

Андрей АK в сообщении #412300 писал(а):

А к чему стремится интервал $(1-\frac1N,1]$?

Что значит - "интервал стремится"? Дайте точное определение.

Андрей АK в сообщении #412300 писал(а):

В конце концов, это только вопрос договоренности - входит ли в бесконечный ряд его предельная точка или нет.

Ни в коем случае не предмет договорённости.
Если Вы утверждаете, что среди интервалов $\left(1-\frac1N,2+\frac1N\right)$, $N\in\mathbb N$, содержится отрезок $[1,2]$, то Вы тем самым берёте на себя обязательство указать конкретное натуральное число $N$, при подстановке которого получается $\left(1-\frac1N,2+\frac1N\right)=[1,2]$.
Так при каком натуральном $N$ выполняется последнее равенство?