О Клофоиде и строительстве дорог

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #411154 писал(а):

Если сплайн из клотоиды соединяет A и B, для которых заданы прорабом кривизны и наклоны касательных...

e7e5,

дуга клотоиды НЕ решает задачу сопряжения ещё и по кривизнам (so called $G^2$ Hermite interpolation). Можете решить задачку для обычной квадратичной параболы, и убедиться что она не решается. Никакой разницы с клотоидой нет, только в том, что обойдётесь без Френелей. Обе кривые имеют вего один параметр формы-размера. Маловато степеней свободы.
Савёлов назвал её идеальной (кажется это слово) переходной кривой только за линейность кривизны. А заявленную им же в обсуждении переходных кривых задачу клотоида НЕ решает.

Кубическия кривая Безье даёт решение для большинства возможных граничных условий. Там достаточно степеней свободы, и уравнения простые --- 4-й степени, и сразу приведённые!

[e7e5]

Строится кубическая парабола проще, но во-первых, это всего лишь в некотором смысле приближение клотоиды ( как заметили ранее - это "апофеоз"). Во-вторых, разве кубическая парабола обеспечит сопряжение в терминах Hermite mathing ?

-- Ср фев 09, 2011 22:39:42 --

Алексей К. в сообщении #411172 писал(а):

e7e5 в сообщении #411154 писал(а):

Если сплайн из клотоиды соединяет A и B, для которых заданы прорабом кривизны и наклоны касательных...

e7e5,

дуга клотоиды НЕ решает задачу сопряжения ещё и по кривизнам (so called $G^2$ Hermite interpolation). Можете решить задачку для обычной квадратичной параболы, и убедиться что она не решается. Никакой разницы с клотоидой нет, только в том, что обойдётесь без Френелей. Обе кривые имеют вего один параметр формы-размера. Маловато степеней свободы.
Савёлов назвал её идеальной (кажется это слово) переходной кривой только за линейность кривизны. А заявленную им же в обсуждении переходных кривых задачу клотоида НЕ решает.

Книжка А.А.Савелова:Плоские Кривые, хороша конечно, но она содержит старые данные относительно клотоиды и интегралов Френеля. Мне кажется, что я правильно утверждаю: проблема сопряжения двух точек сплайном клотоиды, который соединяет две данные точки и удовлетворяет единичным векторам наклона и кривизе в этих точках решается и причем единственным путем.

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #411174 писал(а):

Книжка А.А.Савелова:Плоские Кривые, хороша конечно, но она содержит старые данные относительно клотоиды и интегралов Френеля.

Вы пишете, извините, ерунду. Никаких "новых" данных нет и не надо. Всё про них известно давным-давно.

e7e5 в сообщении #411174 писал(а):

Мне кажется, что я правильно утверждаю: проблема сопряжения двух точек слайном клотоиды, который соединяет две данные точки и удовлетворяет единичным векторам наклона и кривизе в этих точках решается и причем единственным путем.

А Вы уже попробовали, порешали, чем-то своё "кажется" подтвердили?
Я вот когда выше Вам написал, что это не так, так это ж после сотни решённых задач такого типа.
А эта старая картинка, так она из моей статьи про то, как решаются задачки про клотоиду. Для заданных углов --- одно-два решения. Как там ещё и кривизнами управлять --- только Вам, наверное известно.

Ни клотоида, ни кубическая парабола, ни какая-либо другая каноническая кривая эту задачу в общем виде не решают.

Безьюху берите.

[e7e5]

Тогда, возможно я не правильно понимаю смысл слова "сплайн". Потому как Известные товарищи: D.S. Meek и D.J. Walton, заявляли о решении: the problem of finding clothoid spline transition spiral which joins two given points and mathces given curvatures and unit tangents at the two points. и далее они приводят алгоритм. Тогда о чем они?

[Алексей К.]

Сплайном они называют кривую, составленную из кусков клотоид (как, скажем, кубический сплайн составлен из кривых Безье, т.е. из кусков некоторых алгебраических кривых третьего порядка). И пытаются при этом добиться непрерывности кривизны в точках сопряжения. Т.е. строят кривую, натуральное уравнение которой есть непрерывная монотонная кусочно-линейная функция.

-- 09 фев 2011, 22:31 --

А если сопрягать чего-то сплайнами, то у вас здесь столько степеней свободы, что хоть из клотоид, хоть из парабол, из чего угодно можно делать. Очевидно. Хочется помудрее статью написать, Френелей присовокупить --- будем делать из клотоид. Следующую --- из кубиков Чирнгаузена. Следующую --- из логарифмических спиралей. Итд.

[e7e5]

Спасибо, ясно. Вроде бы и кривая у них монотонная получается. Вопрос собственно мой не столько в этом, сколько в другом: Вот есть методы разные. Как я понял, бегло просмотрев подходы, все они приводят либо к нелинейным уравнениям, либо еще каким-то сложностям. А в чем критерий применимости того или иного метода. Ведь алгоритм можно перевести в коммуникатор наверное любой. А какой подход должен быть самым-самым универсальным?

Конечно, помня о моем интересе ко всяким там кривым, которые совсем не просто находятся ( и вряд ли с аналитическим решением) быть может через аппроксимации всяхих там рядов, с практической точки зрения: если нужно строить некоторый механизм ( ну там завихрения воздуха чтобы с крыла слетали как нужно или улучшенный механизм самоцентрирующегося патрона, кстати в глаза его не видел, идея работы понятно, но как-там внутри работает так и не понял), то как выбирается подходящий метод?

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #411227 писал(а):

А в чем критерий применимости того или иного метода. Ведь алгоритм можно перевести в коммуникатор наверное любой. А какой подход должен быть самым-самым универсальным?

(Оффтоп)

Я не знаю, кто такой коммуникатор (и пока не хочу узнавать).

Известные мне критерии и мотивы --- представимость алгоритма в удобном для CAD виде (полиномиальность-рациональность), получение грантов, накопление публикаций, PhD-писательство. Из огромного количества публикуемого мусора до судоверфи или до автобана доходит мизер. Не стоит в этом мусоре рыться и выискивать зёрнышки.

Меня, например, двигало то, что я, уже порывшись, видел кучу статей-алгоритмов, страниц по 20-30, совершенно нечитабельных, и непрограммируемых, с муторным перечислением разных случаев (типа $\alpha>2\beta$, касание внешнее, что-то ещё), и...
И мне пришло в голову, а не накрутить ли ребятам недостающие степени свободы дробно-линейным преобразованием кривой, о котором я недавно узнал? Ибо я уже осознал страшную тайну: Мёбиус не только постоянство кривизны сохраняет, но и монотонность оной! К тому же, и перегиб можно сделать, там где его и близко не было, или убрать его на фиг, если он мешает. И получилось очень здорово, и мне просто захотелось, как в детстве на олимпиаде, похвастаться афигенно простым и красивым решением задачки, над которой они бьются лет 20. Но это очень камерная музыка, для пары десятков слушателей, не то что теорема Ферма или 40-я симфония Моцарта, собирающие залы и форумы.

Я не знаю, какой подход должен быть самым универсальным. Скорее, я уверен, что вопрос сильно некорректен.

[Алексей К.]

Мне хотелось ещё пояснить и уточнить своё синее заявление:

Алексей К. в сообщении #411197 писал(а):

Ни клотоида, ни кубическая парабола, ни какая-либо другая каноническая кривая эту задачу в общем виде не решают.

Чтобы построить кривую, идущую из точки $A$ в точку $B$ с заданными наклонами касательных и кривизнами в граничных точках, мы должны удовлетворить 5 равенств относительно параметров, не зависящих от поворотов и переносов: длины хорды $h=|AB|$, наклонов касательных $\alpha,\beta$, измеренных относительно хорды $\vec{AB}$, и кривизн $k_A,k_B$ (случай $|AB|=0$ следовало бы рассмотреть отдельно).

Чтобы решать задачу в переменных, также не зависящих от движений, будем исходить из натурального уравнения $k=f(s;F,p_1,p_2,...)$ некоторой кривой. Здесь $k,s$ --- кривизна и длина дуги, $F,p_i$ --- параметры, модифицирующие форму кривой. Обычно один из них, $F$, отвечает за размер (подобие), остальные, безразмерные, --- какие-то характерные углы, отношения, итп. У коники это фокальный параметр и эксцентриситет; у логарифмической спирали параметра $F$ нет, только $p_1$ (постоянный угол между кривой и полярным лучом). Стало быть, для решения задачи нам надо брать кривую, имеющую хотя бы 3 параметра формы. Вместе с началом $s_1$ и концом $s_2$ дуги это даст пять свободных параметров для составления пяти уравнений относительно вышеуказанных пяти неизвестных.

Спираль Корню и квадратичная парабола имеют только по одному параметру формы $F$ (у первой это расстояние между асимптотическими точками, у второй --- фокальный параметр). С $F,s_1,s_2$ мы можем рассчитывать реализовать только 3 заданные величины, например, $h,\alpha,\beta$.

У кубической параболы два параметра формы: $y=ax^3+bx$ (пропущенные коэффициенты обнуляются соответствующими параллельными переносами). В том или ином виде они перейдут в два параметра $F,p_1$ натурального уравнения. С этим можно надеяться удовлетворить, кроме $h,\alpha,\beta$, одну из кривизн. В этом смысле кубическая парабола эквивалентна конике (фокальный параметр + эксцентриситет), с той лишь разницей, что заполучить точку перегиба с коникой не удастся. Но можно, при желании, заполучить гиперболу с разрывом внутри.

Так что начинать надо с параболы $y=ax^4+bx^2+cx$ (не видел, чтобы кто-то этим занимался; наверное, попробовали и бросили). Глянув по диагонали атлас плоских кривых, зацепил только кривую Персея, у которой, похоже, имеется необходимая прорва параметров формы.

Но стоит проинвертировать хотя бы квадратичную параболу, и мы получим набор $F,p_1,p_2$: два последних параметра появятся за счёт варьирования центра инверсии; радиус инверсии повлияет лишь на масштаб, дополнительной степени свободы не даст. А ежели заметить, что $\alpha+\beta$ --- инверсный инвариант (знак только меняет), и угол пересечения граничных кругов кривизны тоже, то необходимую дугу параболы можно подобрать заранее. Её и инвертировать. Лучше Мёбиусом, по трём точкам, оставляя граничные точки неподвижными, и двигая, например, бесконечно удалённую точку (те же две дополнительные степени свободы).

Кривая, замечу, получится рациональной.
Сумеем параболу (или другую конику) без вершины подобрать, --- будет нам у полученой кривой ещё и вожделенная монотонность кривизны.

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #411318 писал(а):

Мне хотелось ещё пояснить и уточнить своё синее заявление:

Алексей К. в сообщении #411197 писал(а):

Ни клотоида, ни кубическая парабола, ни какая-либо другая каноническая кривая эту задачу в общем виде не решают.

Чтобы построить кривую, идущую из точки $A$ в точку $B$ с заданными наклонами касательных и кривизнами в граничных точках, мы должны удовлетворить 5 равенств относительно параметров, не зависящих от поворотов и переносов: длины хорды $h=|AB|$, наклонов касательных $\alpha,\beta$, измеренных относительно хорды $\vec{AB}$, и кривизн $k_A,k_B$ (случай $|AB|=0$ следовало бы рассмотреть отдельно).

А если вместе с этими условиями важно учесть "предисторию" - скорость изменения наклона касательной при подходе к точке A, а затем скорость изменения наклона касательной при выходе из точки B? Ваш метод может учесть это обстоятельство?

[Алексей К.]

Скорость изменения наклона касательной есть кривизна, и она уже учтена.
Если Вы имели в виду скорость изменения кривизны, то да, формально может: если где-то раздобыть ещё две степени свободы.
Если забыть о монотонности кривизны, то уже кривая Безье 4-го порядка должна с этим справиться. Но трудно считать это "интерполяцией", ибо всякие всплески-отклонения внутри непредсказуемы.

Реально я не знаю, как подступиться к этой (усложнённой) задаче.

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #416000 писал(а):

Если Вы имели в виду скорость изменения кривизны, то да, формально может: если где-то раздобыть ещё две степени свободы.

Т.е для начала нужно рассмотреть вопрос существования? Если абстрактно рассмотреть добавление еще этих двух степеней свободы, то как бы звучала постановка задачи?

[Алексей К.]

Нет: мне видится сначала модель, потом уравнения, потом существование решений.
Пусть это будет Безье-4:

$$C(t)=C_0(1-t)^4+4C_1(1-t)^3t+6C_2(1-t)^2t^2+4C_3(1-t)t^3+C_4t^4,\qquad 0\le t\le1,$$

где

$$C_0= \begin{pmatrix}-c\\{\hphantom{-}0}\end{pmatrix},\quad C_1=C_0+f\cdot \begin{pmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{pmatrix} \tmp{},\quad C_2= \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix},\quad C_3=C_4-g\cdot \begin{pmatrix}\cos\beta\\ \sin\beta\end{pmatrix},\quad C_4=\begin{pmatrix}c\\0\end{pmatrix}$$

(соответствие с прежними обозначениями: $C_0=A,\; C_4=B,\; |AB|=h=2c$).
Составляем 4 жутких уравнения для заданных $k(0),k(1),k'_s(0),k'_s(1)$ с четырьмя неизвестными $f,g,p,q$ (заданные углы гарантированы при $f,g>0$). Производные, замечу, заданы по некому осмысленному параметру (натуральному, или там по полярному углу: стало быть, дифференцирование $k$ по безликому $t$ здесь не прокатит). Ищем решения, да непременно такие, чтоб было $f,g>0$.

[Алексей К.]

Вот здесь увидел и понял, наконец, в чём на самом деле прелесть клотоиды (спирали Корню) при строительстве дорог. Речь о скруглении двух прямолинейных участков двумя кусочками этой спирали. Картинку копирую, подпись перевожу:
График кривизны:
"Два перпендикулярных прямолинейных участка, соединённых в одном варианте дугой окружности (синяя кривая), в другом --- двумя дугами клотоид. Отношение двух длин --- $\ldots \approx 1{,}069$."

Соответственно, вместо разрывного кусочно-постоянного графика кривизны (красно-сине-зелёного) получаем непрерывный кусочно-линейный (красно-зелёный).
Нужный кусок клотоиды находится легко, в данном случае по повороту на 45 градусов от точки перегиба. Дальше гомотетией увеличивается до нужных размеров. И перпендикулярность, понятно, необязательна.

Наверное, аналогичный трюк легко проделывается и с кубической параболой. Либо у Савёлова это не пояснено, либо я тогда невнимательно прочитал.

[USSR]

Алексей К. в сообщении #411172 писал(а):

e7e5 в сообщении #411154 писал(а):

дуга клотоиды НЕ решает задачу сопряжения ещё и по кривизнам (so called $G^2$ Hermite interpolation).

Линейность кривизны еще не факт того, что клофоида идеальна. Более того, при построении переходных кривых в дизайне высокоскоростных магистралей нужно учитывать lateral change of acceleration (LCA) для различных моделей движения. Так вот, для клофоиды, как для переходной кривой, функция LCA далеко не "идеальна".