О Клофоиде и строительстве дорог

[e7e5]

Есть такая кривая:
$R=a/S$, $a=Const$
Слышал, что ее свойства находят применение в строительстве автомагистралей и железных дорог. Могли бы вы пояснить, а какие такие особые свойства есть, чтобы они находили применение в указанных областях жизни?

Обычно, при прокладке дорог нужно плавно соединять тот или иной пункт, чтобы на скорости автомобиль на скорости ровно двигался. Но причем здесь клофоида?

[Someone]

Про клотоиду первый раз слышу. Про кубическую параболу в строительстве железных дорог слышал давно.
Роль состоит, собственно говоря, в том, чтобы сделать изменение кривизны пути плавным, а не скачкообразным. Если сопрягать прямолинейные отрезки дугами окружностей, то при переходе с прямолинейного участка на криволинейный будет скачком возникать центростремительная сила, с которой рельс действует на колесо вагона. В вагоне это будет ощущаться как резкий удар.

[e7e5]

Кубическая парабола $y=bx^3$, тогда приближенно можно записать
$R=\frac {1} {6bx}$ т.е подобрать можно значение b и получить нечто похожее на клофоиду. Она же вроде спираль Корню. Но тогда еще непонятнее, почему спираль Корню, ведь с ней совсем не просто работать?

-- Пн фев 07, 2011 22:35:57 --

Может быть тогда удобнее работать с интегралами Френеля? ( кубическая парабола уж слишком старый подход, для нескоростных поездов?)

[ИСН]

Непросто штаны через голову одевать, а тут-то фигня: один раз посчитать, начертить на миллиметровке и отдать гегемонам.

[e7e5]

Что вы имеете ввиду? Начернить спираль Корню? Миллиметровка? выглядит немного старомодно, когда гегемоны ходят с коммуникаторами.

[ИСН]

Я и намекал на старое время. Теперь-то, с нынешними вычислительными мощностями - вообще не о чем говорить.

[Алексей К.]

Я уже ранее засветился как тот самый "гегемон":

Алексей К. в сообщении #194730 писал(а):

Когда я работал на строительстве одного автобана, и понадобилось рассчитывать т.н. переходную кривую, ...
Прораб тогда попросил меня написать решение подробно

(Вы, e7e5, в той теме тоже участвовали).
Была также тема об аппроксимации клотоидами.
Судя по Вашему "Ф" в слове кло(Ф/Т)оида, книгу Савёлова Вы раздобыли. Но мне кажется, что "Т" более общепринято.

Когда ваша траектория имеет резкий поворот (типа $\rightharpoonup$), это в механической трактовке называется "жёсткий удар". Здесь фукция $\tau(s)$ (угол наклона касательной от длины дуги) претерпевает скачок. Случай на порядок более гладкий (о котором выше написал Someone), когда траектория гладкая, но скачок претерпевает кривизна $k(s)$, называли "мягким" ударом. При строительстве автобанов их тоже стараются избегать (понятно, что на самом автобане таких проблем практически не возникает; чаще они возникают при переходе с одной дороги на другую). Хоть я и давно интересуюсь этим, но лишь месяц назад услышал, как заценили велосипедисты новый трек, конструкторы которого позаботились о непрерывности кривизны (не в Крылатском ли? точно не помню, про что именно мне тогда рассказывал один любитель профилей крыл самолётов...).

И об использовании кубических кривых, и о клотоидах в роли переходных кривых Вы можете прочитать у Савёлова. Но сейчас модно, чтоб не было ещё и экстремумов кривизны (или свести их количество к минимуму). Т.е. чтобы кривизна была монотонна (ну, умные физики легко объяснят и это пожелание). В этом смысле клотоиды плохо помогают. С их помощью вы можете обеспечить $G^1$-гладкость, но гладкость по кривизне ($G^2$) они не обеспечивают. Какая получится, такая и получится. И вряд ли вкупе (типа по всему "кусочно-клотоидальному" сплайну) монотонная.

Мне удалось построить кривые, обеспечивающие $G^2$-гладкое сопряжение с монотонной кривизной. Одно решение --- двойная логарифмическая спираль (термин из книг Маркушевича по ТФКП, гидромеханические главы), что для дорог не особо годится: не любят конструкторы трансцендентных кривых; подавай им Безье и нурбсы. Второе --- рациональная кривая 4-й степени, что в нурбсовость вполне вписывается. В ряде случаев можно и до 3-й степени опуститься, но здесь я малость сдох. Надоело. Ибо... часто это всё ерунда, делается ради статей и диссеров; иногда вполне можно было бы позволить себе маленький экстремчик кривизны, и никто бы его на дороге не заметил. Как, например, тот неизбежный экстремум, который возникает при аппроксимации дуги окружности кубической кривой Безье.

(Оффтоп)

Вообще-то тот любитель профилей крыл самолётов жаловался, что в точках разрыва кривизны у него что-то там завихривается и мешает летать... Так что я, возможно, скоро поверю, что моё увлечение --- не такая уж ерунда, как мне пока всё же ещё кажется...

-- 08 фев 2011, 01:10 --

Алексей К. в сообщении #410364 писал(а):

Но сейчас модно чтоб ещё и не было экстремумов кривизны. Т.е. чтобы кривизна была монотонна

У спирали Корню, о которой Вы, e7e5, спрашиваете, кривизна бесконечно монотонна. Потрясающе монотонна. Восхитительно монотонна. Спираль Корню --- апофеоз монотонности кривизны.

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #410364 писал(а):

Мне удалось построить кривые, обеспечивающие $G^2$-гладкое сопряжение с монотонной кривизной. Одно решение --- двойная логарифмическая спираль (термин из книг Маркушевича по ТФКП, гидромеханические главы), что для дорог не особо годится: не любят конструкторы трансцендентных кривых; подавай им Безье и нурбсы. Второе --- рациональная кривая 4-й степени, что в нурбсовость вполне вписывается. В ряде случаев можно и до 3-й степени опуститься, но здесь я малость сдох. Надоело. Ибо... часто это всё ерунда, делается ради статей и диссеров; иногда вполне можно было бы позволить себе маленький экстремчик кривизны, и никто бы его на дороге не заметил. Как, например, тот неизбежный экстремум, который возникает при аппроксимации дуги окружности кубической кривой Безье.

Пусть даны точки A, B. Известна монотонная кривая $k_1(s)$ приходящая в A. Известна также монотонная кривая $k_2(s)$, приходящей в B. Нужно построить
такой кусочек (сплайн) клатоиды ( спирали Корню), который бы соединял точки A и B, и удовлетворял кривизне и касательным в этих точках.

Иными словами, если спираль Корню это позволит сделать, то можно ли сделать это другим способом? Конечно, случаи параметров точек A, B аппроксимации прямой или окружностью опускаем.

Далее, если аппроксимировать более простой рациональной кривой ( 3-ей степени), позволит ли это решить поставленный вопрос.

Еще более меня интересует способ сопряжения для конкретных $k_{1,2}(s)$, но сначала хорошо бы понять общую теорию.

[Алексей К.]

Для начала должен признаться, что я мало что понял. Скорее, ничего не понял. Во первых строках фигурирует окружность, которая дальше не упоминается:

e7e5 в сообщении #410720 писал(а):

Пусть на окружности даны точки A, B.

Бывают ли две точки A, B, которые не лежат на окружности?

[e7e5]

Если быть более точным в практическом вопросе:
$\rho_1(\phi)=\phi^2/2$, $\phi \to 0$
$\rho_2(\phi)=\phi -\frac {4} {3\phi}$, $\phi \ge 2$

Вот промежуток нужно аппроксимировать.

Если не сложно,подскажите что дают Ваши методы?

-- Вт фев 08, 2011 23:48:47 --

(Оффтоп)

окружность убрал

[Алексей К.]

Это не совсем практический вопрос. Это теоретический вопрос. Практический --- это когда Вы мне даёте конкретные условия в начальной точке, и конкретные условия в конечной точке. Хотя алгоритм прост, выражения в общем виде будут бесконечно громоздкими.
Вот я догадываюсь, что Вы мне дали уравнения двух кривых в полярной системе координат. Далее Вы хотите, чтоб я сам назначил пару точек, $\varphi_1$ на первой кривой и $\varphi_2$ на второй; далее, чтобы я сосчитал граничные условия, которые надо удовлетворить: координаты, наклоны касательных и кривизны в обеих точках (сами то уравнения кривых мне как бы на фиг не нужны; только для расчёта граничных условий; которые, по-хорошему, должен задать заказчик дороги или, на худой конец, прораб).

Заданные условия я первым делом приведу в удобную (для себя) систему координат, а именно в эту. Уже тут страшно подумать, во что превратятся Ваши изначальные $\rho_{1,2}(\phi_{1,2})$.
Немного будучи в курсе Ваших увлечений, заверю Вас, что это непродуктивно. Из той же темы, где я на систему координат ссылаюсь, Вы можете оценить ширину области, внутри которой лежат все все возможные "монотонные" решения (если они существуют).
Попытавшись выполнить хотя бы эту оценку (а информации в той теме предостаточно для этого), Вы согласитесь, что сей подход непродуктивен для Вашего теоретизирования.

Ну, возьмёте Вы конкретно мою кривульку, и что? Явные выражения там будут дикими и неоперабельными для анализов (хотя и простейшими из мне известных). А главное, ничего общего с искомой Вами кривой не имеющими. Это у меня в декартовых координатах будет рац. 4-го порядка кривая. А Вы полярные уравнения захотите сравнивать... Ужос... Брррр...

[ГАЗ-67]

Someone в сообщении #410271 писал(а):

Про кубическую параболу в строительстве железных дорог слышал давно.

А не полукубическая ?

[Someone]

Да мало ли подходящих кривых.

[e7e5]

Someone в сообщении #410847 писал(а):

Да мало ли подходящих кривых.

Вообщем случае совсем немного.
Если сплайн из клотоиды соединяет A и B, для которых заданы прорабом кривизны и наклоны касательных ( как удалось найти иногда говорят Hermite matching), то доказывается единственность существоания сплайна клотоиды
А док-во начинается с того, что A можно разместить в начало координат, единичный вектор наклона касательной $\tau_{A}$ совместить с осью абсцисс. Сделать доп., но не существенное ограничение, что вектор касательной к клотоиде совершает вращение на угол меньший $\pi$ и.т.д. Далее, интегралы Френеля допускают более или менее легкое рациональное аппроксимирование. А саму клотоиду можно выразить в терминах этих же интегралов и рациональной аппроксимации. Все это при достаточном усердии и наличии времени легко ляжет на коммуникатор "гегемона" ( коммуникатор с программой легко порешает нелинойное ур-ние, решит систему ур при необходимости).
Тогда возникает вопрос, да, можно аппроксимировать другими кривыми, но в чем тогда преимущество других методов по сравнению с клотоидой, которая строится легко на коммуникаторе?

[Someone]

А что, кубическая парабола строится сложнее, чем клотоида?