Сопротивление плоскости

[Munin]

Ну да. А про логарифм я сказал потому, что это известный нам правильный (а не топорный) ответ: он удовлетворяет требованию нулевой размерности, но не является константой.

[ewert]

Munin в сообщении #409656 писал(а):

про логарифм я сказал потому, что это известный нам правильный (а не топорный) ответ: он удовлетворяет требованию нулевой размерности, но не является константой.

Этого соображения я не понимаю. С ровно тем же успехом правильным ответом могло бы быть какое нибудь $\left(\frac{l}{r}\right)^{2.176}$.

Да, кстати, и стоит всё-таки иметь в виду, что ответ $\frac{\rho}{\pi}\,\ln\frac{l-r}{r}$ -- не совсем правильный. Это лишь главный член асимптотики в пределе $\frac{r}{l}\to0$, т.е. в пределе, когда поле действительно стремится к полю точечных зарядов. И я совсем не уверен, что поправка к нему не имеет первого порядка малости, а если порядок действительно первый, то $r$ из числителя под логарифмом лучше бы просто выкинуть.

[Munin]

ewert в сообщении #409663 писал(а):

Этого соображения я не понимаю. С ровно тем же успехом правильным ответом могло бы быть какое нибудь $\left(\frac{l}{r}\right)^{2.176}$.

Вы не понимаете, потому что не понимаете, в каком смысле это соображение. Это не соображение в пользу предпочтения логарифма. Я вовсе не стремлюсь произнести что-то вроде "всегда, когда метод размерностей даёт зависимость нулевой степени, реально имеет место логарифм". Я говорю в обратную сторону: "мы знаем реальную зависимость, и это логарифм, так что заведомо понятно, что метод размерностей не даст внятного ответа, а только даст зависимость нулевой степени".

ewert в сообщении #409663 писал(а):

И я совсем не уверен, что поправка к нему не имеет первого порядка малости

А о какой поправке вы говорите?
Здесь возможны самые разные нарушения, заставляющие быть неработоспособной простейшую математическую модель.
1. Провода могут быть не идеально круглыми. Тем более, места их присоединения к плоскости.
2. Провода могут иметь радиус, сравнимый с толщиной проводящей плоскости, и распределение тока по толщине некорректно будет отображать двумерной моделью.
3. Неоднородности проводимости плоскости могут играть решающую роль в малых областях в окрестности проводов и мест их присоединения.
...
Но это только физические нарушения (каждое приводящее к своим поправкам или даже новым моделям). А математических я здесь не вижу - откуда может возникнуть поправка в данной фиксированной математической модели?

[ewert]

Munin в сообщении #409692 писал(а):

А математических я здесь не вижу - откуда может возникнуть поправка в данной фиксированной математической модели?

Речь идёт, конечно, об идеально круглых "проводах" (в смысле областях втекания/вытекания тока) -- иначе постановка задачи вообще лишена точного смысла.

Задача имеет смысл, если радиус проводов много меньше расстояния между ними, но всё же конечен. Тогда поле второго круга (если интерпретировать его как заряженный проводник) в области расположения первого круга много меньше поля, создаваемого там самим первым кругом и, следовательно, почти не приводит к перераспределению зарядов на первом круге. Это и означает, что в первом приближении поле вне проводников можно рассматривать как поле точечных зарядов, расположенных в центрах этих кругов. Однако во втором приближении оно всё-таки создаёт некоторый дипольный момент, а вот порядок этого возмущения мне оценивать лень.

[Padawan]

По-моему, задача имеет решение (и смысл), если заданы площадь соприкосновения с плоскостью первого и второго проводов $S_1$, $S_2$

[ewert]

Padawan в сообщении #409714 писал(а):

По-моему, задача имеет решение (и смысл), если заданы площадь соприкосновения с плоскостью первого и второго проводов

Это вот что означает. Если взять просто одиночную заряженную проводящую область, то при данном заряде потенциал этой области зависит только от её площади. Хм.

[Ales]

mihiv в сообщении #409200 писал(а):

Посчитав по этой схеме (при условии $l$ много больше $r$),получил: $R=\frac {\rho }{\pi d}\ln (\frac {l-r}r)$

Тогда должно быть: $\frac {\rho }{\pi d}\ln (\frac l r)$.

[ewert]

Ales в сообщении #409751 писал(а):

mihiv в сообщении #409200 писал(а):

Посчитав по этой схеме (при условии $l$ много больше $r$),получил: $R=\frac {\rho }{\pi d}\ln (\frac {l-r}r)$

Тогда должно быть: $\frac {\rho }{\pi d}\ln (\frac l r)$.

Это с учётом приближённости задачи одно и то же, но предыдущий вариант формально правильнее (хотя ещё правильнее было бы $\frac {\rho }{\pi d}\ln (\frac {l-2r}r)$, но это всё бессмысленная ловля блох).

[Ales]

ewert в сообщении #409705 писал(а):

Речь идёт, конечно, об идеально круглых "проводах" (в смысле областях втекания/вытекания тока) -- иначе постановка задачи вообще лишена точного смысла.

Наверное, форма проводов добавляет члены первого порядка малости и не влияет на полученную формулу.
Также как и небольшое увеличение радиуса провода - логарифм все убивает.

-- Вс фев 06, 2011 17:32:53 --

ewert в сообщении #409755 писал(а):

Это с учётом приближённости задачи одно и то же, но предыдущий вариант формально правильнее (хотя ещё правильнее было бы $\frac {\rho }{\pi d}\ln (\frac {l-2r}r)$, но это всё бессмысленная ловля блох).

Точно - ловля блох. Человек все сделал и решил, а другим остается только ловить блох - комментировать и незначительно улучшать.
Методически правильно оставлять главную часть в конечной формуле - для удобства ее применения.
А можно оставить все как есть, чтобы было понятно, откуда формула.

[Munin]

ewert в сообщении #409705 писал(а):

Задача имеет смысл, если радиус проводов много меньше расстояния между ними, но всё же конечен. Тогда поле второго круга (если интерпретировать его как заряженный проводник) в области расположения первого круга много меньше поля, создаваемого там самим первым кругом и, следовательно, почти не приводит к перераспределению зарядов на первом круге. Это и означает, что в первом приближении поле вне проводников можно рассматривать как поле точечных зарядов, расположенных в центрах этих кругов. Однако во втором приближении оно всё-таки создаёт некоторый дипольный момент, а вот порядок этого возмущения мне оценивать лень.

Если бы речь шла о полях зарядов, это было бы так. Но речь идёт о физически другой задаче: о плотности токов. А у токов нет явления, аналогичного перераспределению зарядов под влиянием внешнего поля.

[Ales]

Munin в сообщении #410114 писал(а):

А у токов нет явления, аналогичного перераспределению зарядов под влиянием внешнего поля.

А если рядом положить магнит, то разве ток не поменяется?

[ewert]

Munin в сообщении #410114 писал(а):

Но речь идёт о физически другой задаче: о плотности токов.

А чем токи-то создаются?...

[Munin]

Ales в сообщении #410139 писал(а):

А если рядом положить магнит, то разве ток не поменяется?

Поменяется. Но по другим уравнениям.

[mihiv]

Мне тоже кажется,что поправки на перераспределение зарядов на подводящих проводниках из-за взаимного влияния надо учитывать как в электростатике: раз вне проводников $div\vec E=0$,то там нет пространственных зарядов,т.е. поле определяется исключительно распределением зарядов наповерхности подводящих проводников(их можно считать идеальными $\rho =0$)

[Munin]

Я был неправ. Но формулировки типа "перераспределения зарядов" тоже неправильные. Можно говорить только о выполнении гранусловий Дирихле на контурах областей, в которых присоединены провода. А $\partial\varphi/\partial\mathbf{n}$ называть зарядом нельзя - физически это всё-таки уже другая задача.