Сопротивление плоскости

[arseniiv]

Пускай у нас есть плоскость с одинаковым повсюду удельным сопротивлением $\rho$. Каково будет её сопротивление, если подключить выводы на расстоянии $l$ друг от друга?

Каким способом его найти? Не знаю, как интегрировать по траекториям и то ли это, что нужно.

[Xey]

Что-то аналогичное
topic28309-45.html

[arseniiv]

Там дискретная сеть!

-- Пт фев 04, 2011 20:23:02 --

Мне кажется, будет зависимость от того, сеть квадратная, шестиугольная или треугольная.

-- Пт фев 04, 2011 20:23:40 --

Хотел что-то интегрировать и запутался.

[mihiv]

Рассмотрим плоскость конечной толщины $d$.В стационарном случае электрическое поле описывается уравнениями:$rot\vec E =0,div\vec E =0$,плотность тока равна $\vec j =\frac 1{\rho }\vec E .$
Таким образом электрическое поле потенциально:$\vec E=-\nabla \varphi$,подставляя это выражение для поля в формулу для плотности тока получим: $\triangle \varphi =0$,видим,что потенциал (и электрическое поле)не зависят от $\rho $,поэтому (для нахождения поля) $\rho $ можно выбрать произвольным,в частности поле будет совпадать с полем двух бесконечных заряженных цилиндрических проводников радиуса $r$ в вакууме,расположенных на расстоянии $l$ друг от друга(при этом $\rho =\infty $).Ясно,что эл.поле перпендикулярно плоскости,проведенной параллельно проводникам через середину отрезка $l$.В этой плоскости находим плотность тока,а затем интегрированием полный ток.Интегрированием эл.поля по отрезку,перпендикулярному обоим проводникам находим разность потенциалов и затем сопротивление.

Посчитав по этой схеме (при условии $l$ много больше $r$),получил: $R=\frac {\rho }{\pi d}\ln (\frac {l-r}r)$

[arseniiv]

Спасибо за объяснение! А без $r$ найти не получится, как-нибудь иначе?

[ewert]

Ну если уж ответ явно уходит на бесконечность при $r\to\infty$ , то что уж тут поделаешь.

[mihiv]

Зависимость от $r$ существенна,т.к. плотность тока на поверхности проводника:$j=\frac I{2\pi rd}$,а значит и пропорциональная ей напряженность поля,при заданном полном токе $I$, пропорцональна $\sim \frac 1r$,а т.к. разность потенциалов $U=\int Edr$,то получается логарифмическая зависимость от $r$.Другими словами,чтобы прогнать тот же полный ток при меньшем радиусе подводящего провода требуется большее напряжение.
Предполагается,конечно,также,что $l$ много больше $r$.

[BISHA]

arseniiv в сообщении #409005 писал(а):

Каким способом его найти?

Методом размерностей. Получите правильный порядок, но можете ошибиться в коэффициенте. (Удельное сопротивление по площади на расстояние между электродами.)

[ewert]

BISHA в сообщении #409486 писал(а):

Методом размерностей. Получите правильный порядок

Не получите. Зависимость от размеров, как ни крути, а логарифмическая.

[BISHA]

ewert в сообщении #409557 писал(а):

Не получите. Зависимость от размеров, как ни крути,

Давно такие задачи не решал. Нужно всю плоскость охватывать? Попытался через середину отрезка провести перпендикуляр, нарисовал на нем окружность проходящую через наши точки. Две дуги параллельно соединены, длины дуг нашел через радиус и угол, попытался проинтегрировать от нуля до 90 градусов, получил сложный интеграл и бросил его брать. Возможно есть красивое решение из физического смысла сопротивления?
В параллельном соединении двух сопротивлений общее сопротивление меньше меньшего. Т. е., если рассматривать все круги, то общее сопротивление будет меньше сопротивления площади круга ($R=\frac{\rho{\pi}{l^2}}{4})$, где диаметр равен расстоянию между электродами.

[ewert]

Не нужно никаких кругов, читайте сообщении #409200 от mihiv, там всё достаточно чётко. Суть проста: из уравнений Максвелла следует, что электрическое поле на плоскости соответствует полю двух точечных зарядов (точнее, двух бесконечно маленьких металлических кружков). А с полем точечного заряда на плоскости всё ясно: величина напряжённости обратно пропорциональна расстоянию до заряда и, соответственно, потенциал зависит от этого расстояния логарифмически. Разве что напрасно он там накрутил насчёт пластинок и цилиндров, надо было говорить просто о плоскости (и, соответственно, под $\rho$ понимать "плоское" удельное сопротивление, т.е. измеряемое просто в омах).

[BISHA]

ewert в сообщении #409574 писал(а):

А с полем точечного заряда на плоскости всё ясно: величина напряжённости обратно пропорциональна расстоянию до заряда и, соответственно, потенциал зависит от этого расстояния логарифмически.

Напряженность обратно пропорциональна квадрату расстояния, т. е. потенциал будет обратно пропорционален расстоянию от заряда.

[ewert]

BISHA в сообщении #409588 писал(а):

Напряженность обратно пропорциональна квадрату расстояния,

Не забывайте, что всё происходит на плоскости, а не в пространстве.

[Munin]

BISHA в сообщении #409486 писал(а):

Методом размерностей.

Методом размерностей вы получите самое лучшее отсутствие зависимости вообще (пропорциональность нулевой степени). Логарифм безразмерен. Топорные методы иногда не срабатывают, как бы вы их ни любили.

[ewert]

Дело даже не в логарифмах. На плоскости размерности удельного сопротивления и просто сопротивления совпадают, и расстояние просто некуда приткнуть.