Задачки по алгебре

[caxap]

VAL в сообщении #409445 писал(а):

2. Для того, чтобы подкольцо было полем в нем: a) должна быть единица;б) не должно быть делителей нуля.

с $n$ связать не получается. Ладно, подумаю. Пока другие задачки:

7.2. Доказать, что двумерная алгебра над полем $\mathbb Z_2$ с базисом $\{1,a\}$ и таблицей умножения $1\cdot 1=1, 1\cdot a=a\cdot 1=a, a\cdot a=1+a$ является полем (из 4 элементов).

Векторное пространство, входящее в алгебру, изоморфно вект. пр-ву $\mathbb Z_2^2$ и эти четыре элемента имеют координаты $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ (соотв. $0,a,1,1+a$). Нужно доказать, что $(\{0,a,1,1+a\},+,\cdot)$ -- поле:
а) коммутативность: достаточно проверить базисные векторы, а они коммутативны из-за симметричной таблицы умножения.
б) ассоциативность: достаточно проверить базисные векторы: $(1\cdot a)\cdot (1+a)=a\cdot (1+a)=a+1+a=1$ (тут сомнения, я правильно думаю, что из-за $\mathbb Z_2$ будет $2a=0$?), $1\cdot (a\cdot (1+a))=a\cdot (1+a)=1$. Произведения только единиц и $a$ тоже ассоциативно.
в) единица: $1$ (по табл. умножения)
г) обратные элементы к ненулевым элементам: $1^{-1}=1$, $a^{-1}=1+a$, $(1+a)^{-1}=a$ (т. к. $(1+a)a=1$).

8.3. Доказать, что в алгебре $L_2(\mathbb R)$ [алгебра квадратных матриц $2\times 2$ над полем $\mathbb R$] матрицы вида

$$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$$

образуют подалгебру, изоморфную алгебре комплексных чисел [по-моему, имеется в виду алгебра $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$].

Изоморфизм $\varphi:\mathbb C\to L_2(\mathbb R)$ такой: $x+iy\mapsto \begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}$, умножение/сложение компл. чисел $\mapsto$ умножение/сложение матриц, умножение компл. чисел на вещественное число $\mapsto$ умножение матриц на вещественное число. При этом выполняется $\varphi(uv)=\varphi(u)\varphi(v)$, $\varphi(u+v)=\varphi(u)+\varphi(v)$, $\varphi(\lambda u)=\varphi(\lambda)\varphi(u)$ (слева комплексные операции, справа матричные). Так как $\mathbb C$ над $\mathbb R$ алгебра, то и те матрицы тоже образуют подалгебру в $L_2(\mathbb R)$.

(Оффтоп)

VAL в сообщении #409445 писал(а):

Ленг

Спасибо.

VAL в сообщении #409445 писал(а):

Очень хорошее алгебраическое введение в двухтомнике Лидла

Понравилось, но мало и сжато .

[VAL]

caxap в сообщении #409495 писал(а):

VAL в сообщении #409445 писал(а):

2. Для того, чтобы подкольцо было полем в нем: a) должна быть единица;б) не должно быть делителей нуля.

с $n$ связать не получается. Ладно, подумаю.

Пока думаете, дам еще одну подсказку. При ответе на мой вопрос, как и на другие вопросы, касающиеся колец $\mathbb Z_n$, следует самое пристальное внимание обратить на каноническое разложение n.

Цитата:

Пока другие задачки:...

Вроде, верно (если ничего не зевнул :) )

[caxap]

VAL в сообщении #409555 писал(а):

следует самое пристальное внимание обратить на каноническое разложение n.

Ясно, сейчас попробую.

VAL в сообщении #409555 писал(а):

Вроде, верно (если ничего не зевнул :) )

Спасибо. Но есть ещё задачка типа 8.3, но с ней я даже задание не понял:

8.4. Доказать, что в алгебре $L_2(\mathbb C)$, рассматриваемой как алгебра над $\mathbb R$, матрицы вида

$$\begin{pmatrix}a&-\overline{b}\\b&\overline{a}\end{pmatrix}$$

образуют подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

А именно, меня смущает выделенный фрагмент. Ведь $L_2(\mathbb C)$ -- это алгебра над $\mathbb C$. И ещё, я верно понимаю, что алгебра кватернионов -- это алгебра $\mathbb H$ над $\mathbb R$?

[VAL]

caxap в сообщении #409563 писал(а):

Но есть ещё задачка типа 8.3, но с ней я даже задание не понял:

8.4. Доказать, что в алгебре $L_2(\mathbb C)$, рассматриваемой как алгебра над $\mathbb R$, матрицы вида

$$\begin{pmatrix}a&-\overline{b}\\b&\overline{a}\end{pmatrix}$$

образуют подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

А именно, меня смущает выделенный фрагмент. Ведь $L_2(\mathbb C)$ -- это алгебра над $\mathbb C$. И ещё, я верно понимаю, что алгебра кватернионов -- это алгебра $\mathbb H$ над $\mathbb R$?

А в чем проблема? В условии же ясно сказано, что множество указанных матриц надо рассматривать как алгебру над $\mathbb R$. Просто не рассматривайте в качестве скаляров комплексные числа с ненулевой мнимой частью.

Или поступите так: замените каждый элемент исходной матрицы соответствующей матрицей 2х2 из задачи 8.3 и получите матрицы 4х4, но уже над $\mathbb R$.

[caxap]

VAL в сообщении #409593 писал(а):

замените каждый элемент исходной матрицы соответствующей матрицей 2х2

$a=x+iy$, $b=u+iv$, $\overline{a}=x-iy$, $-\overline{b}=-u+iv$, тогда

$$\begin{pmatrix}a&-\overline{b}\\b&\overline{a}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&-y&-u&-v\\y&x&v&-u\\u&-v&x&y\\v&u&-y&x\end{pmatrix}$$

Но это не работает: $(1+2i+3j+4k)\cdot (5+6i+7j+8k)=-60+20i+30j+24k$, но, умножая матрицы, получаем $-60+20i+14j+32k$.
Опытным путём установил, что надо так:

$$\begin{pmatrix}a&-\overline{b}\\b&\overline{a}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x & -y & -v & -u \\ y & x & u & -v \\ v & -u & x & y \\ u & v & -y & x\end{pmatrix}$$

То есть надо поменять веществ. и мнимую часть $b$. Почему так?

То, что это изоморфизм, я проверил: $\varphi(pq)=\varphi(p)\varphi(q)$ и т. д. всё выполняется.

[VAL]

caxap в сообщении #409615 писал(а):

$a=x+iy$, $b=u+iv$, $\overline{a}=x-iy$, $-\overline{b}=-u+iv$, тогда

$$\begin{pmatrix}a&-\overline{b}\\b&\overline{a}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&-y&-u&-v\\y&x&v&-u\\u&-v&x&y\\v&u&-y&x\end{pmatrix}$$

Но это не работает: $(1+2i+3j+4k)\cdot (5+6i+7j+8k)=-60+20i+30j+24k$, но, умножая матрицы, получаем $-60+20i+14j+32k$.
Опытным путём установил, что надо так:

$$\begin{pmatrix}a&-\overline{b}\\b&\overline{a}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x & -y & -v & -u \\ y & x & u & -v \\ v & -u & x & y \\ u & v & -y & x\end{pmatrix}$$

То есть надо поменять веществ. и мнимую часть $b$. Почему так?

А почему не так? Главное, что изоморфизм есть!
Только не очень хорошо писать "=" между матрицами разной размерности. Лучше каку-нибудь стрелочку.

Цитата:

То, что это изоморфизм, я проверил: $\varphi(pq)=\varphi(p)\varphi(q)$ и т. д. всё выполняется.

Вроде, да. Хотя у вас какой-то "перекрученный" изоморфизм получился.
Обычно сопоставляют так:

$$x+yi+uj+vk \longrightarrow \begin{pmatrix}x & -y & -u & -v \\ y & x & -v & u \\ u & v & x & -y \\ v & -u & y & x\end{pmatrix} $$

[caxap]

VAL в сообщении #409698 писал(а):

между матрицами разной размерности

Я подразумевал, что $a$, $b$ и др. -- блоки $2\times 2$.

VAL в сообщении #409698 писал(а):

А почему не так? Главное, что изоморфизм есть!

Ну по логике я просто заменил в матрице комплексные числа соответствующими матрицами. А не работает. Пришлось подбором находить. А если бы не было счастливой догадки? Как-нибудь не думая можно получить нужную матрицу (мою вторую или вашу)?

Пара вопросиков ещё:
1. Что такое "операции, имеющие характер тождества (напр. ассоциативность и коммутативность)" (из Винберга)?
2.

Винберг писал(а):

$2^{100}=1\pmod{125}$, учитывая, что $2^{100}$ делится на 8, получаем $2^{100}=376\pmod{1000}$

Не понял, как получилось последнее сравнение Могу получить только $2^{100}=376\pmod{125}$.

[VAL]

caxap в сообщении #409759 писал(а):

А если бы не было счастливой догадки? Как-нибудь не думая можно получить нужную матрицу (мою вторую или вашу)?

Я не одобряю подход, основанный на принципе "главное не думать" :)

Цитата:

Пара вопросиков ещё:
1. Что такое "операции, имеющие характер тождества (напр. ассоциативность и коммутативность)" (из Винберга)?

Понятия не имею. Но точно знаю, что ассоциативность и коммутативность - не операции, а свойства операций. Ну или, если угодно, тождества. А цитата точная?

Цитата:

Винберг писал(а):

$2^{100}=1\pmod{125}$, учитывая, что $2^{100}$ делится на 8, получаем $2^{100}=376\pmod{1000}$

Не понял, как получилось последнее сравнение Могу получить только $2^{100}=376\pmod{125}$.

А чему равен остаток от деления 376 на 125?!

[caxap]

VAL в сообщении #409769 писал(а):

А цитата точная?

VAL в сообщении #409769 писал(а):

А чему равен остатокот деления 376 на 125?!

1. Я не понял, как он перешёл к $\pmod {1000}$.

[mihailm]

Не операция же, а свойство операции

[caxap]

Всё равно не понятно.

[VAL]

caxap в сообщении #409783 писал(а):

VAL в сообщении #409769 писал(а):

А цитата точная?

Это другое дело. Речь идет именно о свойствах операций. Как я и предположил.
Свойство коммутативности, например, формулируется в виде тождества (а именно, тождества коммутативности )

Цитата:

VAL в сообщении #409769 писал(а):

А чему равен остаток от деления 376 на 125?!

1. Я не понял, как он перешёл к $\pmod {1000}$.

А в чем проблема? 1000 ведь кратно 125.
Например, мне надо найти остаток от деления некоторого числа на 5. Вполне допустимо сначала найти остаток от деления этого числа на 10. А затем уже привести этот остаток по модулю 5.
Правда, я предпочел бы не переходить к модулю 1000, а сразу искать требуемый остаток от деления на 125. Но это я. А Винберг решил пойти другим путем. Имеет полное право

[caxap]

(map в математике)

Пусть у меня есть функции $\varphi:\mathbb H\to \mathrm L_2(\mathbb C)$ и $\psi:\mathbb C\to \mathrm L_2(\mathbb R)$ ($\mathrm L_n(K)$ -- алгебра квадратных матриц $n\times n$ над полем $K$). Как можно символьно записать функцию $\chi:\mathbb H\to \mathrm L_4(\mathbb R)$, которая сначала переводит кватернион в матрицу $2\times 2$ из комплексных чисел ($\varphi$), а затем заменяет каждое число матричным блоком $2\times 2$ ($\psi$).

То есть что-то типа $\chi(q)=\operatorname{map}(\psi,\varphi(q))$ в стиле Хаскеля. По-моему, это достаточно частая конструкция не только в функциональных ЯП, но и в математике. Нет ли какой-нибудь узаконенной традиции для таких определений?

VAL
Про количество подполей в $\mathbb Z_n$ так и не додумался. Я могу объяснить, используя ваши подсказки, что, например, подкольцо $\{[4]_{20},...\}$ (которое вы указывали) является подполем. Единица будет $[16]$, $16(16-1)$ делится на $20$, поэтому $16^2=16\pmod {20}$ и т. д. Но вот в общем случае подсчитать количество подполей не по силам...

[Sonic86]

caxap писал(а):

Про количество подполей в $\mathbb Z_n$ так и не додумался.

Аддитивная группа подполя кольца $\mathbb Z_n$ имеет вид $d \mathbb{Z}_{\frac{n}{d}}$ (извиняюсь за дурацкое обозначение). Порядок поля - степень простого числа... + поле является областью целостности (нет делителей нуля).

[VAL]

caxap в сообщении #410840 писал(а):

(map в математике)

Пусть у меня есть функции $\varphi:\mathbb H\to \mathrm L_2(\mathbb C)$ и $\psi:\mathbb C\to \mathrm L_2(\mathbb R)$ ($\mathrm L_n(K)$ -- алгебра квадратных матриц $n\times n$ над полем $K$). Как можно символьно записать функцию $\chi:\mathbb H\to \mathrm L_4(\mathbb R)$, которая сначала переводит кватернион в матрицу $2\times 2$ из комплексных чисел ($\varphi$), а затем заменяет каждое число матричным блоком $2\times 2$ ($\psi$).

То есть что-то типа $\chi(q)=\operatorname{map}(\psi,\varphi(q))$ в стиле Хаскеля. По-моему, это достаточно частая конструкция не только в функциональных ЯП, но и в математике. Нет ли какой-нибудь узаконенной традиции для таких определений?

VAL

(Оффтоп)

Причем тут Haskell?
Понятие композиции отображений вполне школьное. Правда, там его называют "сложная функция".
Обозначить можно: $\psi(\varphi (h))$ или через кружочек.
Правда, со вторым обозначением связана некая неприятность: у одних авторов первым действует отображение, стоящее перед кружочком, а у других - после.

Цитата:

Про количество подполей в $\mathbb Z_n$ так и не додумался. Я могу объяснить, используя ваши подсказки, что, например, подкольцо $\{[4]_{20},...\}$ (которое вы указывали) является подполем. Единица будет $[16]$, $16(16-1)$ делится на $20$, поэтому $16^2=16\pmod {20}$ и т. д. Но вот в общем случае подсчитать количество подполей не по силам...

Ответ такой: Количество подполей кольца $\mathbb Z_n$ равно количеству различных простых сомножителей, входящих в каноническое разложение n в первой степени.
Так, $\mathbb Z_{20}$ всего одно подполе (из 5-и элементов), а в $\mathbb Z_{30}$ - целых три подполя.

Число элементов конечного поля должно быть степенью простого числа.
Если некое простое p входит в разложение n c показателем k, большим 1, то все подкольца из $p^i \ (i \in \{1,2,...,k\})$ элементов имеют делители 0.
Если же показатель p в разложении n равен 1, то в $\mathbb Z_n$ имеется подполе из p элементов.