Почему комплексные числа "работают" на практике ?

[Ales]

_hum_ в сообщении #407948 писал(а):

С комплексными же числами дело обстоит иначе - они никак напрямую не "привязаны" к практике

С моей точки зрения комплексные числа также привязаны к практике, как и любые другие числа.
Комплексные числа разве что более сложный инструмент.
А вот некоторых людей смущают отрицательные числа или степени выше третьей, ну и что из этого.
Думаю, что Вы абсолютизируете свое личное понимание. А оно может быть и неверно.

-- Вт фев 01, 2011 23:00:29 --

_hum_ в сообщении #407948 писал(а):

И теперь, чтобы гарантировать, что полученный результат все-таки адекватен, нужно привести дополнительные обоснования. Если можете, приведите, пожалуйста.

Не хочу переписывать алгебраические учебники.
Почему Вас не устраивают принятые теории и обоснования? Может быть, Вы с ними не ознакомились?

[_hum_]

Gortaur в сообщении #407962 писал(а):

Далее мы внезапно наталкиваемся на то, что используя точки на плоскости можем решить кубическое уравнение. Адекватно?

Несколько моментов:
1) как Вы для себя обосновывате, почему метод Кардано (как раз тот, что "использует точки на плоскости") всегда правильно дает решения кубического уравнения?
2) как Вы для себя обосновываете, почему и во всех других случаях выход в комплексную плоскость в итоге также ни к чему плохому не приведет?

-- Ср фев 02, 2011 00:14:26 --

Ales в сообщении #407989 писал(а):

_hum_ в сообщении #407948 писал(а):

И теперь, чтобы гарантировать, что полученный результат все-таки адекватен, нужно привести дополнительные обоснования. Если можете, приведите, пожалуйста.

Я не желаю переписывать здесь алгебраические учебники.
Почему Вас не устраивают принятые теории и обоснования? Может быть Вы с ними не ознакомились.

Ну раз для обоснования этого нужно целые учебники излагать, то тогда, конечно, извиняюсь. Просто надеялся, что суть можно пояснить в двух словах.

[Ales]

_hum_ в сообщении #407998 писал(а):

метод Кардано (как раз тот, что "использует точки на плоскости") всегда правильно дает решения кубического уравнения

Распространенное заблуждение.
Метод Кардано не дает никакого решения, он просто дает способ нахождения решения через радикалы.
Но ведь радикалы тоже надо искать.

К тому же, извлечение кубического радикала из комплексного числа - задача, сводящаяся к решению кубического уравнения. Реально в некоторых случаях (достаточно общих) Вы всего лишь переливаете из пустого в порожнее: чтобы решить уравнение ищете радикал, но чтобы его найти, надо решить кубическое уравнение.
Бывает что под радикалом стоит действительное число и тогда метод условно работает.
Там какое-то условие на дискриминант.

[Gortaur]

_hum_ в сообщении #407998 писал(а):

Несколько моментов:
1) как Вы для себя обосновывате, почему метод Кардано (как раз тот, что "использует точки на плоскости") всегда правильно дает решения кубического уравнения?
2) как Вы для себя обосновываете, почему и во всех других случаях выход в комплексную плоскость в итоге также ни к чему плохому не приведет?

1. подставить можно в уравнение и поработать с радикалами. понимаете, он не то, что работает "всегда" - он работает во всех нужных нам случаях. И по сути нас не интересует, что будет в других случаях (что логично, т.к. они нам не нужны). Кстати, других случаев нет.

2. Что значит выход в комплексную плоскость? Вот если мне нужно посчитать $a/2$ - я обычно рисую равнобедренный треугольник с основанием $a$, провожу высоту циркулем и линейкой и потом беру штангенциркуль... вот это замечательный алгоритм выхода "в некомплексную плоскость". В нем все отлично работает, хоть и достаточно бредово, признаю - но я просто не могу понять чем данная процедура отличается от того, что мы назвали вещи другими именами и делаем то же, что и раньше?

[JMH]

Некоторое время тому назад один плохонький писатель - фантаст высказал очень глубокую идею (не знаю, может идея не его): любая, даже очень простая вещь (проблема, сущность) при ближайшем рассмотрении оказывается сложной, затем очень сложной и, в конце концов бесконечно сложной - все зависит от того, насколько глубоко вы собираетесь рассмотреть объект интереса. С данной дискуссией происходит именно это - народ забирается все дальше и дальше в дебри философской природы комплексных чисел, но это занятие безнадежное.
Мне кажется, все началось, когда вторую компоненту комплексного числа назвали "мнимой". Мнимая - значит не существующая в действительности, а стало быть использовать ее для описания реальности никак нельзя. Предлагаю (по крайней мере TC) на время забыть о слове "мнимый" и рассмотреть комплексные числа, как просто пары действительных чисел (забудем на минуту про связывающие их алгебраические отношения). Многочлен с действительными коэффициентами имеет корни представимые только парами действительных чисел? Не стоит расстраиваться по этому поводу. Функция отображающая действительные числа на действительные может быть расширена на функцию отображающую пары на пары, ну так и что? Что в этом необычного с точки зрения математики? Только то, что этого не преподают в школе, ну и опять-таки, злосчастное слово "мнимый"...

[Мастак]

Вообще, как мне кажется, все эти названия, среди которых "мнимый и вещественный"- издержки творческого процесса.
Наверно всякое творчество при решении разных творческих задач - это выход
в разного рода полубред и успех в том, чтобы этот бред реализовать, то есть вернуться в реальность. (Конечно это не шизофрения как предполагали психомедики, а недопонимание и недоработанная модель).

Кто что-то творческое хотя бы пытался осуществлять - наверно замечали, но конечно все по-разному.

И что - остались следы в названиях в честь создателей, но все, кто идут после оценивают практическую полезность и если полезно, то и какая разница - какие названия.

PS Ну и Бог (Боги - кто во что верит - хотя существует нечто, что не понимают) всех обеспечивает, если обеспечиваемые не дурят, но может быть они дурят не зря. Это к тому, что выход куда-то во вне ПРИ УСПЕХЕ ЭТОГО ВЫХОДА - это встречи со сверхестественным, хотя всякое непонятное и действующее для непонимающего - сверхестественное.

[Diom]

Вообще, честно говоря, с трудом улавливаю суть вопроса. Сугубо мое личное мнение на сей счет заключается в том, что математика не имеет ни малейшего отношения к реальному миру. Это лишь абстракция. Набор изначальных непротиворечивых утверждений и совокупность правил посредством которых из начальных утверждений можем получать последующие утверждения. Все математические объекты и в том числе комплексные числа есть лишь именованные наборы свойств. Таким образом, математика это такой оператор который позволяет установить взаимное соответствие между всеми тождественными высказываниями (высказанными посредством разных терминов).
Вопрос же применимости к практике решается так - наблюдаемые посредством экспериментов свойства в пределах допустимой погрешности соответствуют математическому объекту? Если да, то все свойства и связи присущие этому математическому объекту присущи и физическому объекту. И тогда посредством «математического оператора» мы можем легко переходить от одного наблюдаемого свойства физического объекта к другому тождественному, но уже не столь тривиальному.
Как в шутку говорил один мой знакомый математик – «наше дело маленькое: доказать теорему, а вот вся ответственность за ее применение на вас».
В таком разрезе комплексные числа не являются чем-то «фантастическим» - это лишь мысленная конструкция, набор логических связок.

Не думаю, что сказал что-то новое, но свою позицию обозначил

[Gortaur]

Diom
Я с Вами согласен - можно рассматривать математику как непротиворечивую теорию. При это объяснять ее популярность тем, что выводы можно приложить на практике. Например, законы движения - пока мы были в 17м веке, нам и такие подходили - на всех экспериментах, которые мы тогда могли провести, во всех практических приложениях этого хватало. Когда мы уже поумнее стали, появилась теория относительности, квадратичная зависимость и т.д. Когда научимся двигаться с околосветовыми скоростями - возможно, модель опять существенно поменяется потому что потребности будут другие.

Математика не утверждает, что она полезна на практике. Она непротиворечива. Но раз ее можно использовать - и до сих пор ошибок не было (а если были - просто расширяли класс понятий, улучшали модель и т.д.) - то можно использовать и дальше. Как говорил мой знакомый математик про то, сколько нужно делать итераций чтобы решить задачу на конечном горизонте когда точные границы неизвестны - Iterate and pray.

[Lazy]

Diom, а вот я совсем не согласен! Конечно, я обычный любитель математики, так что мое мнение вполне может быть пристрастным. В общем, я придерживаюсь точки зрения В.И. Арнольда, который говорил, что математика - это экспериментальная наука. Математика - просто часть физики, где эксперименты стоят не миллионы долларов, а единицы рублей.

А нобелевский лауреат Поль Дирак утверждал, что для построения теоретической физики необходимо лишь найти красивую математическую теорию, которая не обязана при построении даже иметь никакого отношения к реальному миру. Однако, если теория действительно красива, обязательно найдет себе в реальности применение.

Так что я для себя уверен в том, что математика - как раз одна из наиболее прикладных и всеобъемлющих наук! Один японский математик (не помню имени, к сожалению) в традициях своей культуры сказал так - математика строга и непротиворечива, и именно потому так хороша. Хороша в смысле применения.

А уж сколько я читал о примерах подхода к математике, диаметрально противоположного Бурбаки (которые как раз и рассматривают математику просто как строгую непротиворечивую теорию)... Все сводится к тому, что математика - не есть наука о доказательствах и не замкнута сама в себе. Фундаментальные примеры - теорема Геделя, две непротиворечивых геометрии (Евклида и Лобачевского), ну и т. д.

[_hum_]

Ладно, пошли какие-то уж очень отдаленные от начальной проблемы разговоры.

Напоминаю, если утрированно, то проблема такая:

"Представьте, что Вы попали на несколько веков назад, и Вам дали задачу, в процессе решения которой приходится выходить за поле вещественных чисел. Вы это легко проделываете и показываете результат тогдашнему ученому. Вопрос: как вы обоснуете правильность полученного результата (считаем, что непосредственной подстановкой выполнить проверку не представляется возможным)?"

Для себя я пока решил придерживаться уже высказанного суждения: http://dxdy.ru/post407626.html#p407626

Единственно, чего не хватает "для полного счастья", так это выяснить действительно ли комплексные числа спонтанно возникают только в алгебраических задачах.

Да, и еще, получается, что все-таки комплексные числа - абстракции более высокого порядка, чем вещественные. То есть, они не совсем числа, и в лучшем случае могут трактоваться по аналогии с отрицательными как результы "недовыполненных операций".

P.S. Просьба к тем, кто будет еще отписываться - ответьте сперва (может, просто для себя), что бы вы сказали тогдашнему ученому в приведенной выше ситуации.

[Diom]

Цитата:

Так что я для себя уверен в том, что математика - как раз одна из наиболее прикладных

А никто и не говорит что она не прикладная. Не будь она прикладной она бы не была столь популярна. Просто её создавали для решения прикладных задач. Впрочем и не мотивация ее создания важна, а логичность суждений положенных в ее основу.

Цитата:

Математика - просто часть физики, где эксперименты стоят не миллионы долларов, а единицы рублей.

А вот с этим категорически не согласен. Удивительно, что такое сказал Арнольд.

Но коль уж пошел такой разговор то парирую тоже цитатой Анри Пуанкаре - "Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем."


-- Пт фев 04, 2011 02:09:06 --

Цитата:

Вопрос: как вы обоснуете правильность полученного результата

Введение комплексных чисел вовсе не обязательно. Можно обойтись и обычными числами. Но почему не назвать какой-то часто попадающийся математический объект именем?

[Ales]

_hum_ в сообщении #408825 писал(а):

Единственно, чего не хватает "для полного счастья", так это выяснить действительно ли комплексные числа спонтанно возникают только в алгебраических задачах.

Комплексные числа популярны потому, что они появляются, как собственные значения для линейных операторов - поворотов.

[Shtirlic]

_hum_ в сообщении #408825 писал(а):

Ладно, пошли какие-то уж очень отдаленные от начальной проблемы разговоры.

Напоминаю, если утрированно, то проблема такая:

"Представьте, что Вы попали на несколько веков назад, и Вам дали задачу, в процессе решения которой приходится выходить за поле вещественных чисел. Вы это легко проделываете и показываете результат тогдашнему ученому. Вопрос: как вы обоснуете правильность полученного результата (считаем, что непосредственной подстановкой выполнить проверку не представляется возможным)?"

Для себя я пока решил придерживаться уже высказанного суждения: http://dxdy.ru/post407626.html#p407626

Единственно, чего не хватает "для полного счастья", так это выяснить действительно ли комплексные числа спонтанно возникают только в алгебраических задачах.

Да, и еще, получается, что все-таки комплексные числа - абстракции более высокого порядка, чем вещественные. То есть, они не совсем числа, и в лучшем случае могут трактоваться по аналогии с отрицательными как результы "недовыполненных операций".

P.S. Просьба к тем, кто будет еще отписываться - ответьте сперва (может, просто для себя), что бы вы сказали тогдашнему ученому в приведенной выше ситуации.

Я предложу свой пример. Динамические модели, скажем диф. уравнения с постоянными коэффициентами или рекуррентные соотношения. И то и то решается с помощью характеристического уравнения, при решении которого могут возникнуть корни со входящим в него корнем квадратным из отрицательного числа (вот вам и необходимость введения мнимой единицы как корня квадратного из -1). При их решении мы как раз выходим в мнимую плоскость потом обратно.
И так почему это работает? Все просто, комплексные числа - это расширение действительных, то есть действительные это те же комплексные. Были расширенны понятия операций: производной, интеграла,сложения, умножения, корня и т.д. И если вы будете работать с действительными числами как с комплексными, по правилам комплексных чисел, то это равносильно будет обычной работе с действительными числами (Надеюсь не запутал). А раз во множестве комплексных чисел действительные не претерпели изменений, то естественно все будет работать. А правило, что комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части прекрасно помогают избавляться от мнимой части.
Собственно для доказательства верности рассуждений ученым 17 века, необходимо было бы рассказать всю теорию расширения понятий на область комплексных чисел.
Я, обычно, когда меня интересует почему это работает, сажусь и изучаю теорию с самого начала и все становится понятно.

-- Сб фев 05, 2011 00:47:36 --

А что касается математики, то мое мнение, что это просто формализованное отражение человеческой логики. Почти все наши бытовые умозаключения можно свести к математике (кстати очень смешно смотрится, когда экономисты-математики для вывода какого-либо очевидного умозаключения строят мат. модели. Например не так давно видел такую, из теории договоров, классическая модель про вторичный авторынок, где доказывали, что если покупатель не знает точно качество машины которую покупает, то чем больше плохих машин на рынке, тем ниже покупатель будет готов заплатить за приобретаемую машину(как хорошую, так и плохую, ну не знает он какая эта) )

[_hum_]

2Shtirlic

Да, я так себе пока все и объясняю. Единственный момент, как я уже говорил - это то, что такое объяснение проходит только для алгебраических задач и алгебраических методов их решения. Но пока для меня не факт, что этим исчерпываются все ситуации, в которых могут появляться комплексные числа.

P.S. Отрадно, что хоть кто-то смог заглянуть в корень проблемы и дать конкретный ответ :)

[Lazy]

А что в ответах неконкретного? Я полагаю что "математик математика видит издалека"
Отсюда простое рассуждение - любой математик принимает строго доказанную теорему или утверждение. Нравится ему оно или нет, понятно оно ему или непонятно, видит ли он с ходу конкретные применения этой модели или не видит. Это не играет роли.

Достаточно показать, что любое уравнения с вещественными коэффициентами можно решать как уравнение с комплексными коэффициентами, имеющими нулевую мнимую часть и voila! Далее, правила арифметики, тождества для комплексных чисел и т.д.

Так что древний ученый будет удовлетворен