Ладно, пошли какие-то уж очень отдаленные от начальной проблемы разговоры.
Напоминаю, если утрированно, то проблема такая:
"Представьте, что Вы попали на несколько веков назад, и Вам дали задачу, в процессе решения которой приходится выходить за поле вещественных чисел. Вы это легко проделываете и показываете результат тогдашнему ученому. Вопрос: как вы обоснуете правильность полученного результата (считаем, что непосредственной подстановкой выполнить проверку не представляется возможным)?"
Для себя я пока решил придерживаться уже высказанного суждения:
http://dxdy.ru/post407626.html#p407626Единственно, чего не хватает "для полного счастья", так это выяснить действительно ли комплексные числа
спонтанно возникают только в алгебраических задачах.
Да, и еще, получается, что все-таки комплексные числа - абстракции более высокого порядка, чем вещественные. То есть, они не совсем числа, и в лучшем случае могут трактоваться по аналогии с отрицательными как результы "недовыполненных операций".
P.S. Просьба к тем, кто будет еще отписываться - ответьте сперва (может, просто для себя), что бы вы сказали тогдашнему ученому в приведенной выше ситуации.
Я предложу свой пример. Динамические модели, скажем диф. уравнения с постоянными коэффициентами или рекуррентные соотношения. И то и то решается с помощью характеристического уравнения, при решении которого могут возникнуть корни со входящим в него корнем квадратным из отрицательного числа (вот вам и необходимость введения мнимой единицы как корня квадратного из -1). При их решении мы как раз выходим в мнимую плоскость потом обратно.
И так почему это работает? Все просто, комплексные числа - это расширение действительных, то есть действительные это те же комплексные. Были расширенны понятия операций: производной, интеграла,сложения, умножения, корня и т.д. И если вы будете работать с действительными числами как с комплексными, по правилам комплексных чисел, то это равносильно будет обычной работе с действительными числами (Надеюсь не запутал). А раз во множестве комплексных чисел действительные не претерпели изменений, то естественно все будет работать. А правило, что комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части прекрасно помогают избавляться от мнимой части.
Собственно для доказательства верности рассуждений ученым 17 века, необходимо было бы рассказать всю теорию расширения понятий на область комплексных чисел.
Я, обычно, когда меня интересует почему это работает, сажусь и изучаю теорию с самого начала и все становится понятно.
-- Сб фев 05, 2011 00:47:36 --А что касается математики, то мое мнение, что это просто формализованное отражение человеческой логики. Почти все наши бытовые умозаключения можно свести к математике (кстати очень смешно смотрится, когда экономисты-математики для вывода какого-либо очевидного умозаключения строят мат. модели. Например не так давно видел такую, из теории договоров, классическая модель про вторичный авторынок, где доказывали, что если покупатель не знает точно качество машины которую покупает, то чем больше плохих машин на рынке, тем ниже покупатель будет готов заплатить за приобретаемую машину(как хорошую, так и плохую, ну не знает он какая эта)
)