2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17749
Москва
epros в сообщении #408494 писал(а):
migmit в сообщении #408412 писал(а):
ИМХО, если в статье на полном серьёзе употребляются слова "актуальная бесконечность", статью можно закапывать сразу.
Это почему? По-моему, это просто ссылка на соответствующую аксиому теории множеств.

Приведите, пожалуйста, эту аксиому. Сформулируйте её так, как формулируются другие аксиомы теории множеств. Например, аксиома регулярности: $\exists y(y\in x)\Rightarrow\exists y(y\in x\&\forall z(z\in y\Rightarrow\neg(z\in x)))$.

epros в сообщении #408494 писал(а):
migmit в сообщении #408464 писал(а):
Просто для математиков вопросы "потенциальной" и "актуальной" бесконечностей - давно пройденный этап.
Виктор Викторов попросил ссылку, а я хочу попросить хотя бы пояснений.

Насколько я помню, я Вам этот вопрос пояснял в своё время. Но у Вас в этом месте имеется пунктик, связанный с Вашим увлечением конструктивизмом, причём, Вы хотите быть более правоверным конструктивистом, чем все конструктивисты, вместе взятые, поэтому смысла в дальнейших пояснениях не вижу.

Виктор Викторов в сообщении #408466 писал(а):
migmit в сообщении #408464 писал(а):
Просто для математиков вопросы "потенциальной" и "актуальной" бесконечностей - давно пройденный этап.

Ссылочку бы мне...

Ну какую Вам "ссылочку", если термины "потенциальная бесконечность" и "актуальная бесконечность" в современной математике не употребляются. Они употребляются исключительно в околоматематических философствованиях. Надо сказать, что порой сами математики начинают придавать какое-то значение этим философствованиям.
Например, в работах по конструктивной математике иногда можно встретить утверждение, что в классической математике считается, что элементы множества "существуют" все сразу (актуальная бесконечность), в то время как в конструктивной элементы "появляются" по мере построения (потенциальная бесконечность). Однако это всего лишь интерпретации, не более того, а когда дело доходит до собственно математических утверждений, эти различия мгновенно исчезают. Сравните, например, формулировку аксиомы бесконечности (с использованием общепринятых сокращений)
$$\exists x(\varnothing\in x\&\forall y(y\in x\Rightarrow y\cup\{y\}\in x))$$
и формулировку одной из аксиом Пеано в конструктивном рекурсивном анализе ($\mathscr N$ - множество всех слов вида $0$, $0|$, $0||$, $0|||$, ..., изображающих натуральные числа)
$$0\in\mathscr N\&\forall x(x\in\mathscr N\Rightarrow x|\in\mathscr N)\text{.}$$
Единственное существенное различие состоит в том, что в аксиоме бесконечности утверждается существование объекта $x$, а в приведённой конструктивистской аксиоме $\mathscr N$ - это константа, обозначающая натуральный ряд, то есть, конкретный конструктивно определённый объект.

epros в сообщении #408527 писал(а):
Однако я призываю попытаться понять и подход конструктивизма, для которого "теоретическая допустимость" ($\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$) не обязательно влечёт за собой "действительное существование" ($\exists x ~ \varphi(x)$).

Какое это имеет отношение к актуальной и потенциальной бесконечности? Сформулируйте математическое определение того и другого, тогда будет предмет для математического обсуждения. Если Вы утверждаете, что в классической математике эти определения сформулировать нельзя, сформулируйте их в конструктивной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
migmit в сообщении #408550 писал(а):
Скажите, остались ли математики, в повседневной работе пользующиеся упомянутой GST без аксиомы бесконечности?
Я полагаю, что этот вопрос некорректен. Большинство математиков заняты прикладными вопросами, поэтому их мало заботит какая бы то ни было минимальность аксиоматики, заложенной в основаниях. Они готовы принять какую угодно аксиоматику, лишь бы она считалась достаточно общепринятой в той области, в которой они работают, т.е., по-сути, они просто следуют сложившейся традиции.

Подобные вопросы правильнее задавать тем, для кого основания математики - специальность. Например, есть такое направление - Reverse mathematics, в рамках которого "в повседневной работе" как раз и рассматриваются вопросы "нужности" или "ненужности" тех или иных фундаментальных аксиом.

migmit в сообщении #408550 писал(а):
Просто получим теорию, в которой удобнее работать, и всё.
"Удобство" - это вопрос привычки. :wink: Было бы правильно иногда задаваться "неудобными" вопросами. Например, вопрос о разрешимости равенства действительных чисел: математический мейнстрим его просто отметает, поскольку "числа либо равны, либо нет", а больше основной массе математиков, занятых своими прикладными задачами, об этом знать и неинтересно. Но тот, кто готов посвятить своё время детальному изучению этого "неудобного" вопроса, знает, что алгоритмически, по крайней мере, этот вопрос действительно неразрешим.

Так что добавление в систему аксиом, которые в общем плане отвечают на некоторые "неудобные" вопросы, хотя и даёт некую иллюзию "удобства", но, по-моему, не приносит большой реальной пользы.

migmit в сообщении #408550 писал(а):
В любом случае, я был бы рад увидеть контрпример к моему первому "ИМХО": современную статью (не на историческую тематику), содержащую что-либо разумное и использующую термин "актуальная бесконечность" не в ироническом смысле.
Ну, у современных ультраинуиционистов (или конструктивистов) можно поискать. Но я не готов дать ссылку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Someone в сообщении #408552 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #408466 писал(а):
migmit в сообщении #408464 писал(а):
Просто для математиков вопросы "потенциальной" и "актуальной" бесконечностей - давно пройденный этап.

Ссылочку бы мне...

Ну какую Вам "ссылочку", если термины "потенциальная бесконечность" и "актуальная бесконечность" в современной математике не употребляются. Они употребляются исключительно в околоматематических философствованиях. Надо сказать, что порой сами математики начинают придавать какое-то значение этим философствованиям.

Видимо, подобное философствование я и видел. Речь там шла о том, что "актуальная бесконечность" и есть «настоящая» бесконечность в смысле аксиомы бесконечности и был пример типа: рассмотрим множество натуральных чисел. А «потенциальная бесконечность» описывалась как нечто такое: говорят, что последовательность бесконечно приближается к своему пределу (фраза мне не нра, но это почти цитата), а на самом деле речь идет о том, что вне каждого открытого интервала, содержащего предел, есть не более чем конечное множество точек данной последовательности. С тех пор я и пытаюсь вспомнить где я это видел или найти разъяснение данному различению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 14:29 
Заслуженный участник


10/08/09
599
epros в сообщении #408562 писал(а):
по-сути, они просто следуют сложившейся традиции.

А мы про что, интересно?
epros в сообщении #408562 писал(а):
Например, есть такое направление - Reverse mathematics, в рамках которого "в повседневной работе" как раз и рассматриваются вопросы "нужности" или "ненужности" тех или иных фундаментальных аксиом.

Опять же - в рамках "под-теории".
epros в сообщении #408562 писал(а):
Но тот, кто готов посвятить своё время детальному изучению этого "неудобного" вопроса, знает, что алгоритмически, по крайней мере, этот вопрос действительно неразрешим.

Я вас обрадую: подавляющее большинство математиков ЗНАЮТ, что этот вопрос алгоритмически неразрешим (если вы задаёте вещественные числа алгоритмами) и неудобств от этого не испытывают.
epros в сообщении #408562 писал(а):
Ну, у современных ультраинуиционистов (или конструктивистов) можно поискать. Но я не готов дать ссылку.

Дайте хоть фамилию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 14:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
Someone в сообщении #408552 писал(а):
Приведите, пожалуйста, эту аксиому. Сформулируйте её так, как формулируются другие аксиомы теории множеств. Например, аксиома регулярности: $\exists y(y\in x)\Rightarrow\exists y(y\in x\&\forall z(z\in y\Rightarrow\neg(z\in x)))$.
$$\exists x ~ (\varnothing \in x \wedge \forall y ~ (y \in x \rightarrow y \cup \{y\} \in x))$$ :wink:

(Оффтоп)

Зачем задавать вопросы, на которые знаете ответы?

(Оффтоп)

Someone в сообщении #408552 писал(а):
Насколько я помню, я Вам этот вопрос пояснял в своё время. Но у Вас в этом месте имеется пунктик, связанный с Вашим увлечением конструктивизмом, причём, Вы хотите быть более правоверным конструктивистом, чем все конструктивисты, вместе взятые, поэтому смысла в дальнейших пояснениях не вижу.
Заверяю Вас, что ни в каких вопросах "правовернее" кого бы то ни было я быть не хочу. :wink:


Someone в сообщении #408552 писал(а):
Например, в работах по конструктивной математике иногда можно встретить утверждение, что в классической математике считается, что элементы множества "существуют" все сразу (актуальная бесконечность), в то время как в конструктивной элементы "появляются" по мере построения (потенциальная бесконечность). Однако это всего лишь интерпретации, не более того, а когда дело доходит до собственно математических утверждений, эти различия мгновенно исчезают.
Это действительно "интерпретации", но из которых следуют различия в подходах к основаниям математики. И эти различия (например, в применяемой логике) пока никуда не исчезли.

Someone в сообщении #408552 писал(а):
Единственное существенное различие состоит в том, что в аксиоме бесконечности утверждается существование объекта $x$, а в приведённой конструктивистской аксиоме $\mathscr N$ - это константа, обозначающая натуральный ряд, то есть, конкретный конструктивно определённый объект.
Во-первых, утверждение о существовании данного объекта - это действительно существенное различие.
Во-вторых, этот "конкретный конструктивно определённый объект" существует в каком угодно смысле, только не в смысле самой арифметики натуральных чисел.

Someone в сообщении #408552 писал(а):
epros в сообщении #408527 писал(а):
Однако я призываю попытаться понять и подход конструктивизма, для которого "теоретическая допустимость" ($\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$) не обязательно влечёт за собой "действительное существование" ($\exists x ~ \varphi(x)$).

Какое это имеет отношение к актуальной и потенциальной бесконечности? Сформулируйте математическое определение того и другого, тогда будет предмет для математического обсуждения. Если Вы утверждаете, что в классической математике эти определения сформулировать нельзя, сформулируйте их в конструктивной.
Это имеет прямое отношение к актуальной и потенциальной бесконечности. Подставьте вместо $\varphi(x)$ формулу из аксиомы бесконечности: $\varnothing \in x \wedge \forall y ~ (y \in x \rightarrow y \cup \{y\} \in x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 14:58 
Заслуженный участник


10/08/09
599
epros в сообщении #408575 писал(а):
Подставьте вместо $\varphi(x)$ формулу из аксиомы бесконечности: $\varnothing \in x \wedge \forall y ~ (y \in x \rightarrow y \cup \{y\} \in x)$

Что-то я сомневаюсь, что вам удастся доказать $\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 15:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
migmit в сообщении #408570 писал(а):
А мы про что, интересно?
Я вовсе не пытаюсь оспаривать факт существования традиций. Но меня интересуют не традиции, а ... гхм ... более или менее "объективные" факты. Если Вы считаете, что употребление словосочетания "актуальная бесконечность" следует считать криминалом только потому, что какое-то там "большинство математиков" (для которых этот вопрос вообще далёк от сферы их специализации) над ним иронизируют, то я с Вами не соглашусь.

Напомню пример с французской академией наук, которая объявила в своё время криминалом сообщения о камнях, падающих с неба... :wink: Главное, всё же, не то, чтобы утверждения того или иного автора следовали традиции, а то, чтобы они были достаточно убедительными.

migmit в сообщении #408570 писал(а):
подавляющее большинство математиков ЗНАЮТ, что этот вопрос алгоритмически неразрешим (если вы задаёте вещественные числа алгоритмами) и неудобств от этого не испытывают
Угу, потому что перед ними не стоят задачи алгоритмического разрешения соответствующих вопросов.

migmit в сообщении #408570 писал(а):
Дайте хоть фамилию
Я в затруднении. Вы поставили весьма жёсткие условия: работа должна быть достаточно "современной", чётко идентифицироваться как "математика" (а не философия математики, например)... К тому же многие конструктивисты принимают аксиому бесконечности. Но поискать можно.

-- Чт фев 03, 2011 16:20:18 --

migmit в сообщении #408581 писал(а):
Что-то я сомневаюсь, что вам удастся доказать $\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$
Доказать в какой теории? Это, опять же, из разряда аксиоматики: Если мы считаем теорию множеств "теорией всего", то сам факт того, что длительное повсеместное употребление аксиомы бесконечности пока не привёло ни к каким видимым противоречиям, можно считать косвенным свидетельством того, что она неопровержима (это как вера в непротиворечивость арифметики и тому подобные фундаментальные вещи). Но одно дело "неопровержимость", а другое дело - утверждение о существовании бесконечного множества. По "канонам" конструктивизма последнее должно сопровождаться примером построенного объекта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 15:39 
Заслуженный участник


10/08/09
599
epros в сообщении #408584 писал(а):
Если Вы считаете, что употребление словосочетания "актуальная бесконечность" следует считать криминалом

Где я это сказал?
Разумеется, не следует. Просто это очень хороший признак идиотской статьи. Пока не встречал повода усомниться в нём.
epros в сообщении #408584 писал(а):
Угу, потому что перед ними не стоят задачи алгоритмического разрешения соответствующих вопросов.

Как вы догадались?
epros в сообщении #408584 писал(а):
чётко идентифицироваться как "математика"

Нет, этого я, кажется, не требовал. Я только хотел, чтобы это не была "история математики" (в исторических работах можно встретить даже такие слова, которых в современных словарях-то нет), и чтобы в ней было что-нибудь разумное (что, соглашусь, de facto исключает "философию математики").
epros в сообщении #408584 писал(а):
Доказать в какой теории?

А есть более-менее распространённая теория, в которой $\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$ доказуемо, а $\exists x ~ \varphi(x)$ - нет? Я имею в виду ту самую $\varphi$, из аксиомы бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 16:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
migmit в сообщении #408592 писал(а):
А есть более-менее распространённая теория, в которой $\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$ доказуемо, а $\exists x ~ \varphi(x)$ - нет? Я имею в виду ту самую $\varphi$, из аксиомы бесконечности.
Не думаю. Насколько я знаю, конструктивисты большей частью разделяются на тех, кто принимает теорию множеств в некой сокращённой форме (но с аксиомой бесконечности), не слишком заботясь о BHK-интерпретации, и на тех, кто предпочитает обходиться без аксиомы бесконечности как таковой.

Мне кажется, что у нас с Вами не осталось существенных разногласий, как Вы полагаете? Я указал Вам, каков может быть математический смысл в различиях между понятиями "потенциального" и "актуального" существования бесконечности. У Вас есть какие-нибудь возражения против того, что в этом смысле употребление данных понятий в математических статьях можно считать корректным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 16:07 
Заслуженный участник


10/08/09
599
epros в сообщении #408600 писал(а):
Мне кажется, что у нас с Вами не осталось существенных разногласий, как Вы полагаете?

То есть, вы согласны с моим первоначальным утверждением?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
migmit в сообщении #408605 писал(а):
То есть, вы согласны с моим первоначальным утверждением?
Я полагаю, что Ваше первоначальное утверждение:
migmit в сообщении #408412 писал(а):
ИМХО, если в статье на полном серьёзе употребляются слова "актуальная бесконечность", статью можно закапывать сразу.
Было дезавуировано вот этим:
migmit в сообщении #408592 писал(а):
epros в сообщении #408584 писал(а):
Если Вы считаете, что употребление словосочетания "актуальная бесконечность" следует считать криминалом

Где я это сказал?
Разумеется, не следует. Просто это очень хороший признак идиотской статьи. Пока не встречал повода усомниться в нём.
Разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 16:51 
Заслуженный участник


10/08/09
599
Ни в коей мере.
Я лишь уточнил его. Дезавуировано оно (как всякое ИМХО) будет тогда, когда я увижу контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
migmit в сообщении #408615 писал(а):
Дезавуировано оно (как всякое ИМХО) будет тогда, когда я увижу контрпример.
Ладно, давайте не будем спорить о тонких оттенках смыслов слов. Если Вы хотя бы в принципе допускаете возможность существования контрпримера и даже готовы посмотреть на него (прежде, чем "сразу закапывать"), то мне тут нечего возразить. :wink:

И с тем, что словосочетание "актуальная бесконечность" можно встретить по большей части в философских сочинениях, т.е. там, где авторы не очень хорошо понимают, какой за этим может стоять математический смысл, я тоже в целом согласен. Но согласитесь, что это - не повод окончательно и бесповоротно утверждать, что математического смысла и не может быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение03.02.2011, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17749
Москва
epros в сообщении #408575 писал(а):
Зачем задавать вопросы, на которые знаете ответы?

Я не знаю ответа на вопрос, что такое актуальная и потенциальная бесконечность в математике. Я смотрю на формулировку аксиомы бесконечности в ZFC и на формулировку одной из аксиом Пеано в CRA (конструктивном рекурсивном анализе) и не вижу разницы. То, что Вы, глядя на эти формулы, произносите ещё какие-то слова, к делу не относится. В указанных аксиомах этих слов нет, Вы их добавляете по собственной инициативе, приплетая сюда ещё какие то "потенциальную" и "актуальную" "бесконечности".

Фактически то, что Вы говорите, сводится к одному: "бесконечность" в классической математике Вы называете актуальной, ту же "бесконечность" в конструктивной математике - потенциальной, но объяснить разницу на математическом языке не можете.

Разумеется, я понимаю, что ZFC и CRA имеют разную аксиоматику, причём, различаются не только математические аксиомы, но и логические. Вопрос не об этом. Мы ведь не можем сравнивать объекты, определяемые в разных теориях. Чтобы понять различие между потенциальной и актуальной бесконечностями, надо чётко сформулировать что это такое, причём, в рамках одной аксиоматики. Про классическую математику Вы уже сказали, что в ней это невозможно. Я жду, что Вы сформулируете требуемые определения в терминах конструктивной математики. В таком стиле:
"множество $A$ называется актуально бесконечным, если...";
"множество $B$ называется потенциально бесконечным, если...".
На формальном языке.
Аксиома бесконечности на такую роль не годится, это не определение, а утверждение о существовании некоторого объекта.

epros в сообщении #408575 писал(а):
Это действительно "интерпретации", но из которых следуют различия в подходах к основаниям математики. И эти различия (например, в применяемой логике) пока никуда не исчезли.

Интерпретация теории всегда лежит вне самой теории. Да, некоторые теории имеют "стандартные" интерпретации. Но это не означает, что у этих теорий нет других интерпретаций, или что доказуемость какого-то утверждения зависит от интерпретации теории.

epros в сообщении #408527 писал(а):
"Потенциальная" может подразумевать "теоретически допустимая", но такая, действительное существование ("актуальность") которой мы не берёмся утверждать.

Вы здесь, по-моему, пытаетесь подменить смысл терминов. Причём, неудачно, потому что это не поможет Вам выбраться из тупика. Наоборот, создаст проблемы.

epros в сообщении #408575 писал(а):
Во-первых, утверждение о существовании данного объекта - это действительно существенное различие.
Во-вторых, этот "конкретный конструктивно определённый объект" существует в каком угодно смысле, только не в смысле самой арифметики натуральных чисел.

Оба объекта "существуют" в одном и том же смысле, в каком "существуют" все прочие математические объекты - как логические конструкции, и не более того.
Объект $\mathscr N$ (натуральный ряд), упоминаемый в конструктивистском варианте аксиомы Пеано, существует вовсе не в смысле "не может не существовать". Он явно конструктивно определён. Существуют алгоритмы, распознающие и перечисляющие его элементы, а также элементы его дополнения, то есть, с конструктивной точки зрения - это очень хороший объект. В конструктивной математике есть гораздо "худшие" объекты.
"Существует" ли натуральный ряд в смысле "самой арифметики натуральных чисел", не имеет значения. Но обсуждаемый с Вашей подачи CRA - не арифметика. В нём, помимо арифметики, ещё много чего есть. В частности, есть натуральный ряд как конструктивно определённый объект.

epros в сообщении #408600 писал(а):
Насколько я знаю, конструктивисты большей частью разделяются на тех, кто принимает теорию множеств в некой сокращённой форме (но с аксиомой бесконечности), не слишком заботясь о BHK-интерпретации, и на тех, кто предпочитает обходиться без аксиомы бесконечности как таковой.

Странно, что основоположники CRA, придерживаясь BHK-интерпретации, не стеснялись обсуждать всевозможные бесконечные множества, изучая их структуру с конструктивной точки зрения. Вы же это всё напрочь отрицаете. Поэтому я и говорю, что Вы стремитесь быть более правоверным католиком, чем Папа Римский.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение04.02.2011, 11:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433

(Оффтоп)

Someone в сообщении #408696 писал(а):
epros в сообщении #408575 писал(а):
Зачем задавать вопросы, на которые знаете ответы?

Я не знаю ответа на вопрос, что такое актуальная и потенциальная бесконечность в математике.
Не лукавьте. Тот вопрос был про формулировку аксиомы бесконечности. И Вы заведомо знали на него ответ. И даже знали, что я имею в виду именно эту формулировку, а не что-то иное. Предлагаю далее не развивать офтопик.

Someone в сообщении #408696 писал(а):
объяснить разницу на математическом языке не можете.
Внимательнее прочитайте мой предыдущий ответ Вам.

Someone в сообщении #408696 писал(а):
Чтобы понять различие между потенциальной и актуальной бесконечностями, надо чётко сформулировать что это такое, причём, в рамках одной аксиоматики. Про классическую математику Вы уже сказали, что в ней это невозможно. Я жду, что Вы сформулируете требуемые определения в терминах конструктивной математики. В таком стиле:
"множество $A$ называется актуально бесконечным, если...";
"множество $B$ называется потенциально бесконечным, если...".
На формальном языке.
Внимательнее прочитайте мой предыдущий ответ Вам. Там речь была о том, что существование объектов (в том числе, "бесконечного множества") можно утверждать "потенциально" ($\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$) и "актуально" ($\exists x ~ \varphi(x)$). Разумеется, с точки зрения классической логики различия исчезают. Но в конструктивной логике они остаются. И это сформулировано вполне "на математическом языке".

Someone в сообщении #408696 писал(а):
Аксиома бесконечности на такую роль не годится, это не определение, а утверждение о существовании некоторого объекта.
А я и не утверждал, что существует определение объекта "потенциальная бесконечность", отличного от объекта "актуальная бесконечность", но при этом существующего в классическом смысле. Речь была о том, что "потенциальная бесконечность" - это бесконечность, существующая в другом смысле (потенциально).

Someone в сообщении #408696 писал(а):
epros в сообщении #408575 писал(а):
Это действительно "интерпретации", но из которых следуют различия в подходах к основаниям математики. И эти различия (например, в применяемой логике) пока никуда не исчезли.
Интерпретация теории всегда лежит вне самой теории. Да, некоторые теории имеют "стандартные" интерпретации. Но это не означает, что у этих теорий нет других интерпретаций, или что доказуемость какого-то утверждения зависит от интерпретации теории.
Неважно, где лежат интерпретации. Речь была о том, что различия в интерпретации понятия существования (как раз и навсегда заданного в некоем идеальном мире - с точки зрения классических представлений, или как построенного в некоторой предметной модели - с точки зрения конструктивизма) приводят к различиям в логике. Т.е. их нельзя считать существующими только на словах и исчезающими при математической формализации.

Someone в сообщении #408696 писал(а):
epros в сообщении #408527 писал(а):
"Потенциальная" может подразумевать "теоретически допустимая", но такая, действительное существование ("актуальность") которой мы не берёмся утверждать.
Вы здесь, по-моему, пытаетесь подменить смысл терминов. Причём, неудачно, потому что это не поможет Вам выбраться из тупика. Наоборот, создаст проблемы.
А по-моему это как раз соответствует изначальному смыслу понятий "потенциальная" и "актуальная". Вспомним наиболее известный общественности пример "потенциальной энергии": Я не вижу здесь явного указания на зависимость от времени (хотя в физике время как раз присутствует везде и всюду), зато очевидным образом подразумевается "теоретическая возможность" реализации этой самой потенциальной энергии в форме чего-то реально наблюдаемого - движения. Кстати, буквальный перевод potential с английского: "возможный", "перспективный", "вероятный". С понятием "актуального", по-моему, аналогично: В первую очередь оно подразумевает "наличное", "подлинное", "действительное", "фактически существующее" (буквальный перевод actual с английского). Да, в определённом контексте и потенциальность, и актуальность могут подразумевать зависимость от времени, но лишь в связи с тем, что наши представления могут меняться со временем.

Someone в сообщении #408696 писал(а):
"Существует" ли натуральный ряд в смысле "самой арифметики натуральных чисел", не имеет значения. Но обсуждаемый с Вашей подачи CRA - не арифметика. В нём, помимо арифметики, ещё много чего есть. В частности, есть натуральный ряд как конструктивно определённый объект.
Что относить к сфере конструктивного анализа - вопрос неоднозначный. Есть такие направления, которые признают аксиому бесконечности, а есть такие, которые стараются обойтись без неё. С моей точки зрения у первых - серьёзные проблемы с BHK-интерпретацией, ибо, при всей "хорошей определённости" (в тех или иных смыслах) множества $\mathbb{N}$, построенного примера данного объекта (как того требует BHK-интерпретация существования) никто пока что не представил.

Someone в сообщении #408696 писал(а):
Странно, что основоположники CRA, придерживаясь BHK-интерпретации, не стеснялись обсуждать всевозможные бесконечные множества, изучая их структуру с конструктивной точки зрения. Вы же это всё напрочь отрицаете. Поэтому я и говорю, что Вы стремитесь быть более правоверным католиком, чем Папа Римский.
Вы не совсем верно оцениваете мою позицию. Я вовсе не отказываюсь "обсуждать всевозможные бесконечные множества" и "изучать их структуру с конструктивной точки зрения". Я всего лишь воздерживаюсь от того, чтобы утверждать их существование (в смысле BHK-интерпретации, т.е. "актуально"). Я, например, не вижу ничего страшного в том, чтобы обуждать $\mathbb{N}$, понимая под этим алгоритм генерации натуральных чисел (как строк вертикальных чёрточек или в любом другом представлении). Однако я призываю не забывать, что алоритм - это не только код, но и способ его выполнения. Если код можно записать на бумажке и положить на стол, то со способом его выполнения такого проделать нельзя. Чувствуете разницу? Число 3 можно записать на бумажке и положить на стол, а если мы попытаемся проделать то же самое с объектом $\mathbb{N}$, например, записав на бумажке код соответствующего алгоритма, то обнаружим, что чего-то всё же не хватает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 114 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group