О непрерывности производной

[Diom]

Добрый день. Помогите пожалуйста доказать теорему: “Пусть функция $y(x)$ дифференцируема на интервале $\left(a,b\right)$, тогда на этом интервале функция $\dfrac{dy(x)}{dx}$ не имеет точек разрыва.”

Для доказательства можно использовать лишь базовые понятия вроде определения производной, предела, дифференциала.

Вроде бы достаточно простая и очевидная теорема, но подступиться без привлечения уже довольно сложных теорем никак не получается.

Понятно, что если $y(x)$ дифференцируема, то $\dfrac{dy(x)}{dx}$ по определению не имеет точек разрыва второго рода. Остается лишь доказать что $\dfrac{dy(x)}{dx}$ не имеет скачков. Для этого нужно доказать что для каждой точки $x_{0}\in\left(a,b\right)$ имеет место: $\dfrac{dy(x_{0})}{dx}=\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{dy(x_{1})}{dx}$ .

Пробовал представить следующим образом: $\dfrac{dy(x_{0})}{dx}=\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{y(x_{0})-y(x_{1})}{x_{0}-x_{1}}$ в то время как из дифференциируемости следует: $y(x_{0})-y(x_{1})=\dfrac{dy(x_{1})}{dx}\left(x_{0}-x_{1}\right)+o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)$ тогда, подставив одно в другое получим: $\dfrac{dy(x_{0})}{dx}=\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{dy(x_{1})}{dx}+\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}$

Но проблема заключается в том, что из свойства функции $o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)$, утверждающего: $\lim_{x_{0}\rightarrow x_{1}}\dfrac{o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}=0 $, отнюдь автоматически не следует, что $\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}\dfrac{o\left(x_{1},x_{0}-x_{1}\right)}{x_{0}-x_{1}}=0$.

Может у кого будут какие предложения как доказать последнее? Ну или как вообще доказать всю теорему используя лишь базовые понятия.

[ewert]

Diom в сообщении #408536 писал(а):

Для доказательства можно использовать лишь базовые понятия вроде определения производной, предела, дифференциала.

Для доказательства вообще ничего нельзя использовать -- из существования производной вовсе не следует её непрерывность.

[gris]

Разрывов первого рода быть не может, но для второго — когда производная существует в некоторой точке, однако, предел ни справа ни слева просто не существует, — есть хрестоматийный пример: $y=x^2\sin\frac 1x$, доопределённая нулём в нуле.
Отсутствие же скачков сразу следует из теоремы Лагранжа. Мне кажется, доказательство нетрудно свести к первичным понятиям.

[Diom]

gris в сообщении #408541 писал(а):

Разрывов первого рода быть не может, но для второго — когда производная существует в некоторой точке, однако, предел ни справа ни слева просто не существует, — есть хрестоматийный пример: $y=x^2\sin\frac 1x$, доопределённая нулём в нуле.

Я знаю что разрывов первого рода быть не может. Это и нужно доказать используя базовые определения. А то что разрывы второго бывают я тоже знаю, но так как по определению функция дифференциируема, то и их не может быть так как для дифференциируемости необходимо существование конечной производной в точке.

[gris]

Вообще-то традиционно считается, что определение разрыва второго рода состоит как-бы из двух случаев: когда один из односторонних пределов равен бесконечности, либо его не существует.

[Diom]

Цитата:

Отсутствие же скачков сразу следует из теоремы Лагранжа. Мне кажется, доказательство нетрудно свести к первичным понятиям.

Это я знаю. У Фихтенгольца именно так и делается, но теорема Лагранжа уже не столь проста - она использует в своем доказательстве теорему Ферма, а та в свою очередь использует теорему Вейерштрасса о о наличии наибольшего и наименьшего значения и.т.д.
Но мне кажется что есть возможно доказать без привлечения целой вереницы теорем лишь из базовых понятий..

-- Чт фев 03, 2011 14:32:04 --

Цитата:

Вообще-то традиционно считается, что определение разрыва второго рода состоит как-бы из двух случаев: когда один из односторонних пределов равен бесконечности, либо его не существует.

Ну это понятно, но ведь вы не будете спорить, что если в точке производная имеется разрыв второго рода, то в этой точке функция не является дифференциируемой.

[ewert]

Diom в сообщении #408542 писал(а):

А то что разрывы второго бывают я тоже знаю, но так как по определению функция дифференциируема, то и их не может быть так как для дифференциируемости необходимо существование конечной производной в точке.

Неверно. Из существования производной в точке ровно ничего не следует насчёт поведения производной в окрестности этой точки. Вот если дополнительно предположить, что в этой точке производная имеет пределы справа и слева -- то да, эти пределы действительно обязаны совпадать и быть конечными.

Diom в сообщении #408542 писал(а):

Это и нужно доказать используя базовые определения.

Ну можно попытаться, конечно, но как-то всё это нелепо выглядит. Вам так или иначе придётся кустарными средствами передоказывать по ходу дела теорему Лагранжа или какой-либо её аналог. А какой в этом смысл?...

[gris]

А чего тут спорить? Я же Вам привёл пример, наверняка и в Фихтенгольце упоминающийся. Эта функция имеет в каждой точке конечную производную, однако в нуле она имеет разрыв именно второго рода.
По существу же вопроса надо подумать. Может быть от противного попробовать?
Но ведь придётся стыдливо не замечать Лагранжа.

[Diom]

Цитата:

Эта функция имеет в каждой точке конечную производную, однако в нуле она имеет разрыв именно второго рода.

да согласен. был неправ. Чуток запутался

Цитата:

А какой в этом смысл?...

Ну естественно не практический, а скорее методологический. Чтобы было наглядно видно из каких свойств это следствие проистекает.

[ewert]

Diom в сообщении #408553 писал(а):

Чтобы было наглядно видно из каких свойств это следствие проистекает.

Вот ровно из Лагранжа наглядно и проистекает.

Надо ведь что? Надо доказать, что односторонняя производная в точке равна одностороннему пределу производной (при условии, что последний существует). Для этого надо хоть как-то уметь связывать значения функции на концах отрезка со значениями производной во внутренних точках (во внутренних, т.к. во внешних всё равно толком не свяжешь). Ну так это и есть Лагранж, именно его Вы и собрались неявным образом передоказывать.

[Diom]

Цитата:

Надо ведь что? Надо доказать, что односторонняя производная в точке равна одностороннему пределу производной (при условии, что последний существует)

Ну в принципе да

Цитата:

Ну так это и есть Лагранж, именно его Вы и собрались неявным образом передоказывать.

Возможно и так. Просто интуиция подсказывала, что это должно быть довольно простым свойством элементарным образом следующее из базовых определений, потому и использование теоремы Лагранжа мне показалось лишь трюком для повышения компактности доказательства.

Кстати вопрос немного не в тему, но коль уж о разрывах речь зашла:
пусть функция всюду равна 0 кроме одной единственной точки в которой она не определена. В этой точке имеется разрыв какого рода?
пусть функция имеет, например, разрыв второго рода справа и разрыв первого рода слева какой разрыв имеет место в точке? (просто неоднократно видел, когда говорят, что в точке имеет место разрыв n рода не уточняя с какой стороны)

[ewert]

Diom в сообщении #408571 писал(а):

использование теоремы Лагранжа мне показалось лишь трюком для повышения компактности доказательства.

Теорема Лагранжа представляет самостоятельную ценность -- она нужна далеко не только здесь, а в очень многих местах. Поэтому раз уж здесь она даёт результат практически даром, то именно её и нужно использовать. Тут практически нет других вариантов: это единственное утверждение достаточно общего характера насчёт непосредственной связи между приращениями функции и производными, и оно нетривиально.

Diom в сообщении #408571 писал(а):

пусть функция всюду равна 0 кроме одной единственной точки в которой она не определена. В этой точке имеется разрыв какого рода?

В этой точке имеется устранимый разрыв. Иногда такие разрывы причисляют к разрывам первого рода, а иногда выделяют в отдельный класс; это дело вкуса.

Diom в сообщении #408571 писал(а):

пусть функция имеет, например, разрыв второго рода справа и разрыв первого рода слева

Этот вопрос не имеет смысла: род разрыва -- это двустороннее понятие.

[gris]

Определяются устранимые разрывы функции в точке, когда функцию можно доопределить или переопределить до непрерывной.
Обычна классификация строится на существовании, бесконечности и равенстве друг другу односторонних пределов.
Существуют, конечны, равны — функция непрерывна или имеет устранимый разрыв.
Существуют, конечны, неравны — разрыв первого рода.
А дальще нет подробной классификации. Не разделяются, например, случаи равенства и неравенства знаков бесконечных пределов. Не различается несуществование и бесконечность предела.
То есть все остальные случаи — разрыв второго рода.

[Diom]

Цитата:

- она нужна далеко не только здесь, а в очень многих местах.

Это я знаю. Я с курсом матана давно знаком. Просто при первичном его изучении (n лет назад) не занимался "ловлей блох" - интересовал лишь практический аспект, а сейчас решил углубить свои познания по Фихтенгольцу.

Цитата:

Тут практически нет других вариантов: это единственное утверждение достаточно общего характера насчёт непосредственной связи между приращениями функции и производными, и оно нетривиально.

Спасибо. А то я уже окончательно начал сомневаться в своих способностях

Цитата:

В этой точке имеется устранимый разрыв. Иногда такие разрывы причисляют к разрывам первого рода, а иногда выделяют в отдельный класс; это дело вкуса.

Я не зря задал этот вопрос. Дело в следующем: пусть точка покоится до некоторого момента времени $t_0$ а потом начинает движение со скоростью v. Получается что в точке $t_0$ функция скорости не определена (так как правый и левый предел отношения не совпадают) во всех же остальных точках слева от $t_0$ скорость равна нулю а справа v.
Тогда получается что имеющийся разрыв функции v должен быть второго рода (но на него он не похож пределы существуют и имеют конечное значение), а первого быть не может, хоть на него он и похож (Существуют, конечны, неравны). Довольно странная ситуация.

[gris]

Точка не может начать движение сразу с некоторой скоростью. Ну за исключением задач, где этим можно пренебречь. А в реальности появляется некоторая сила, которая вызывает ускорение, и за некоторое конечное время скорость непрерывно изменяется.