Преобразования Лоренца в газе,твердом теле для макрообъемов

[evgeniy]

Т.е. вы хотите сказать, что напряженность электрического и магнитного поля величины не векторные. До чего можно дойти, для оправдания своей точки зрения. Напряженность электрического поля это трехмерный полярный вектор, а напряженность магнитного поля это трехмерный аксиальный вектор. При этом они образуют тензор.

[Munin]

evgeniy в сообщении #407798 писал(а):

При этом они образуют тензор.

То есть на самом деле это не векторы.

[evgeniy]

Они образуют тензор с особыми свойствами, оставаясь векторными величинами, полярными и аксиальными векторами. ТОчно также как тензор $F_{ik}$ состоит из векторов, являясь тензором. Структура тензора $H^{\lambda \nu}$, такая же как у тензора $F_{ik}$, а его компоненты образуют трехмерные вектора электромагнитного поля.

[Munin]

evgeniy в сообщении #407862 писал(а):

Они образуют тензор с особыми свойствами, оставаясь векторными величинами

Увы, нет :-)

evgeniy в сообщении #407862 писал(а):

ТОчно также как тензор $F_{ik}$ состоит из векторов

Увы, нет :-)

Учите матчасть... :-(

[evgeniy]

Я болел, а мой компьютер на работе, поэтому я долго молчал. Но при этом я понял, что наш спор о том являются ли компоненты тензора $F_{ik}$ векторами разрешен самим ЛЛ. они написали векторное уравнение с электрическим и магнитным напряжением и электрической и магнитной индукцией. Эта формула фигурировала и в моих рассуждениях. Т.е. то, что напряжения и индукция электромагнитного поля являются векторами сомневаться не приходится.
Можно объяснить, как они в тоже времы входят в специфический тензор электромагнитного поля. У меня даже есть есть объяснение по этому поводу. Но ссылка, на то , что ЛЛ называют эти части тензора векторами, делает мои рассуждения не нужными.

[Munin]

evgeniy в сообщении #414379 писал(а):

Но при этом я понял, что наш спор о том являются ли компоненты тензора $F_{ik}$ векторами разрешен самим ЛЛ. они написали векторное уравнение с электрическим и магнитным напряжением и электрической и магнитной индукцией.

Вы просто не понимаете предмета спора. Да, в 3-мерном пространстве это векторы. Но если вы рассматриваете их из 4-мерного пространства, то это уже не векторы. Группа преобразований систем координат там шире, и по этой более широкой группе они уже не как векторы преобразуются.

[evgeniy]

Так в трехмерном пространстве, которое я рассматриваю это все таки векторы и преобразуются в трехмерном пространстве как векторы, т.е. при преобразовании трехмерной системы координат $f_k=\alpha_{kn}e_n$ они преобразуются $E_k^{'}=\alpha_{kn}E_n$. Т.е. их можно рассматривать в трехмерном пространстве как векторы. И то, что тензор $F_{ik}$ преобразуется в четырехмерном пространстве не мешает им быть векторами в трехмерном пространстве.

[Munin]

Что всё равно не оправдывает ваших соотношений.

[evgeniy]

Тогда укажите в каком месте рассуждений я ошибался. Так как электрическая и магнитная напряженность являются полярными и аксиальным вектором соответственно единственно возможная линейная связь между ними это векторное произведение. Полятный вектор, равен векторному произведению направления распространения на аксиальный вектор, откуды получаем, используя соотношение между компонентами электрического и магнитного поля получаем, что у полярного вектора компонента $E_1=0$. АКсиальный вектор равен векторному произведению направления распространения на полярный вектор, откуда используя соотношения между компонентами магнитного и электрического поля получаем $H_1=0$.

[Munin]

evgeniy в сообщении #414418 писал(а):

Тогда укажите в каком месте рассуждений я ошибался.

Я же уже указал: ваши выводы о соотношении $E_y,E_z$ и $H_y,H_z$ ничего не говорят о $E_x,H_x,$ и поэтому волна может быть направлена куда угодно, и соотношение между векторами $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ тоже вовсе не обязано быть вашим любимым векторным произведением.

evgeniy в сообщении #414418 писал(а):

единственно возможная линейная связь между ними это векторное произведение.

Нет. Линейная связь между ними - это $E_i=M_{ij}H_j,$ где $M_{ij}$ - произвольная матрица. А векторное произведение - это некоторые матрицы специального вида, а не произвольные. Я не знаю, из какого глупого учебника вы заучили эту бредовую фразу, но это плохой учебник, выбросьте его и забудьте. А вместо него возьмите стандартный учебник по линейной алгебре.

[evgeniy]

Линейная связь между двумя полярными и двумя аксиальными векторами действительно $E_l=M_{lk}H_k$ если оба вектора $E_l,H_k$ полярные, либо аксиальные. Если один вектор полярный, а другой аксиальный, то эта формула не годится. А для связи полярного и аксиального вектора необходима формула векторного произведения $\vec E=\sqrt{\mu/\epsilon}[\vec n,\vec H]$ иначе будет равенство полярного и аксиального вектора, что невозможно. И это соотношение взято не из учебника. а из простого рассуждения об полярных и аксиальных векторах. Полярный вектор при инверсии системы координат меняет знак, а аксиальный нет. А приведенное вами соотношение при одном полярном, а другом аксиальном векторе при инверсии координат не справедливо.

[Munin]

evgeniy в сообщении #414553 писал(а):

Линейная связь между двумя полярными и двумя аксиальными векторами действительно $E_l=M_{lk}H_k$ если оба вектора $E_l,H_k$ полярные, либо аксиальные.

Нет. Не если. Вообще всегда.

evgeniy в сообщении #414553 писал(а):

иначе будет равенство полярного и аксиального вектора, что невозможно.

С чего вы взяли, что будет "равенство полярного и аксиального вектора"?

evgeniy в сообщении #414553 писал(а):

И это соотношение взято не из учебника. а из простого рассуждения об полярных и аксиальных векторах.

Значит, вы очень плохо знаете этот материал. Недостаточно, чтобы рассуждать.

evgeniy в сообщении #414553 писал(а):

Полярный вектор при инверсии системы координат меняет знак, а аксиальный нет. А приведенное вами соотношение при одном полярном, а другом аксиальном векторе при инверсии координат не справедливо.

Справедливо, если при инверсии системы координат $M$ тоже меняет знак.

[myhand]

Позволю себе вмешаться в сей высокоумный спор.

evgeniy, Вы постоянно забываете что преобразование же в другую систему отсчета нарушает в общем случае "привычные" Вам уравнения для неподвижной среды

$$\vec D = \epsilon \vec E,\qquad \vec B = \mu \vec H\eqno{(1)}$$

В общем случае (для рассматриваемой однородной среды без дисперсии), справедливы формулы Минковского (см. ЛЛ VIII, 76.9 - я написал, учитывая выбор единиц $c=1$):

$$\vec D + \vec v\times\vec H = \epsilon \left(\vec E + \vec v\times \vec B\right),\qquad\vec B + \vec E\times\vec v = \mu \left(\vec H + \vec D\times \vec v\right)\eqno{(2)}$$

Естественно, аналогичные соотношения справедливы и для фурье-компонент поля ($\vec E \to \vec E \exp(i \omega t - i \vec k \cdot\vec x)$).

Несложно получить решение (2) относительно $\vec D$ и $\vec B$ в общем случае (для малых скоростей оно приведено в ЛЛ VIII, 76.10-11):

$$\vec D_{\parallel}=\epsilon \vec E_{\parallel},\qquad \vec B_{\parallel}=\mu \vec H_{\parallel} \eqno{(3)}$$

$$\vec D_{\perp}(1-\epsilon \mu v^2) = \epsilon (1 - v^2)\vec E_{\perp}+(\epsilon\mu - 1)\vec v \times \vec H_{\perp}\eqno{(4)}$$

$$\vec B_{\perp}(1-\epsilon \mu v^2) = \mu (1 - v^2)\vec H_{\perp}+(\epsilon\mu - 1)\vec E_{\perp} \times \vec v \eqno{(5)}$$

Значками $\parallel$ и $\perp$ я обозначил компоненты полей, параллельные и перпендикулярные $\vec v$, соответственно.

Для того, чтобы связать $\vec E$ и $\vec H$ (аналогично $\vec E = - \sqrt{\mu/\epsilon} \frac{\vec k}{|\vec k|} \times \vec H$ в покоящейся среде), Вам нужно сперва получить дисперсионное соотношение, которое связывает $\omega$ и $k$ (в него будут входить и $\vec n$, и $\vec v$). Для этого совместно с (3-5) используйте уравнения Максвелла для фурье-компонент поля (ср. 76.2 у ЛЛ т. VIII):

$$\vec k \cdot \left(\vec B_{\parallel} + \vec B_{\perp}\right) = 0,\qquad \vec k\times\left(\vec E_{\parallel} + \vec E_{\perp}\right)=\omega \left(\vec B_{\parallel} +\vec B_{\perp}\right) \eqno{(6)}$$

$$\vec k \cdot \left(\vec D_{\parallel} +\vec D_{\perp}\right) = 0,\qquad \vec k \times \left(\vec H_{\parallel} + \vec H_{\perp}\right)=-\omega \left(\vec D_{\parallel} + \vec D_{\perp}\right) \eqno{(7)}$$

Помните, что $\vec E_{\parallel} \not \parallel \vec k$ в общем случае. Аналогично и для других компонент в (3-5). Так что у Вас есть еще аксиальный вектор, который Вы забыли: $\vec v \times \vec k$. И еще один полярный вектор, помимо $\vec k$ - это $\vec v$.

Контрольные выстрелы в голову:
1) evgeniy, Вы в состоянии самостоятельно решить систему линейных уравнений (3-7) и получить закон дисперсии и затем правильное соотношение между $\vec E$ и $\vec H$?

2) Вы понимаете, почему Ваша формула $\vec E = - \sqrt{\mu/\epsilon} \vec n \times \vec H$ ($\vec n = \vec k / |\vec k|$) является неверной в случае движущейся среды?

[evgeniy]

Я согласен, что формула $\vec E=\sqrt{\mu/\epsilon}[\vec n, \vec H]$ является не верной в общем случае. Но почитайте начальные посты. Там эти формулы $E_3=\sqrt{\mu/\epsilon}H_2,E_2=-\sqrt{\mu/\epsilon}H_3 $ получены из ограниченности электрической и магнитной индукции. Не очень принципиальный вопрос о равенстве нулю компоненты векторов $E_1,H_1$ вызвал эту дискуссию.
Кроме того, у меня издание ЛЛ,VIII 1992года и таких формул, что приводите Вы у меня нет. Я не помню формул с индексом $E_{||}$.
УВажаемый Munin. Как матрица может изменить знак, если она состоит из констант. Векторное произведение может изменить знак, так как содержит компоненты нормали и определяется линейный вектор. Можно задать скалярное произведение, но это будет не вектор, а если скалярное произведение умножить на вектор, то система будет нелинейная.
Кроме того, я опять в новом аспекте поднял вопрос о сферической системе координат в математической части форума. Присоединяйтесь, если вАм есть что сказать.

[myhand]

evgeniy в сообщении #414637 писал(а):

Не очень принципиальный вопрос о равенстве нулю компоненты векторов

Принципиальный. Он означает безграмотность "решателя" системы линейных уравнений.

evgeniy в сообщении #414637 писал(а):

Но почитайте начальные посты. Там эти формулы $E_3=\sqrt{\mu/\epsilon}H_2,E_2=-\sqrt{\mu/\epsilon}H_3 $ получены из ограниченности электрической и магнитной индукции.

Зачем мне читать "начальные посты", когда и только что приведенных мной выше рассуждений - следует что неверны и "эти формулы" тоже.

evgeniy в сообщении #414637 писал(а):

роме того, у меня издание ЛЛ,VIII 1992года и таких формул, что приводите Вы у меня нет.

Каких у Вас нет? Формул (2) нету? Чушь. А формулы (3-5) я специально привел для Вас. В ЛЛ там они только для частного случая (и я привел ссылку на формулу) $|\vec v| \ll 1$.

Итак, с вопросом 2) разобрались. Вы увидели свою ошибку.

Что насчет вопроса 1):

myhand в сообщении #414619 писал(а):

1) evgeniy, Вы в состоянии самостоятельно решить систему линейных уравнений (3-7) и получить закон дисперсии и затем правильное соотношение между $\vec E$ и $\vec H$?

Хоть простейший случай $\vec k \parallel \vec v$ разберите. Или сложно?