Пожалуйста,помогите решить предел от двух переменных

[Jenny]

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}(x^2+y^2)\cdot\sin\frac{1}{xy}$$

Вообще не знаю с чего и как начать(

[gris]

Что-то знакомое. Ну в принципе, если доопределить функцию нулём на осях, можно попробовать по определению. Вроде бы ничего необычного нет. Первый сомножитель мажорирует функцию по модулю.

[caxap]

А нельзя использовать ограниченность синуса?

[gris]

Так из-за этого и мажорируемость. Но всё равно придётся искать предел первого сомножителя, так что сразу уж. Вообще без доопределения на осях говорить о пределе как-то и некорректно. Может быть, в этом вся фишка. А вообще должна быть какая-то теорема на случай такого произведения.

[Jenny]

а как решать знаете??

[Padawan]

gris в сообщении #407655 писал(а):

Вообще без доопределения на осях говорить о пределе как-то и некорректно.

Почему некорректно? Точка (0,0) является предельной для множества задания.

[Ales]

Jenny в сообщении #407642 писал(а):

Вообще не знаю с чего и как начать(

Это ноль, а доказывать надо по определению через $\varepsilon$ и $\delta$.

[ewert]

Padawan в сообщении #407719 писал(а):

Почему некорректно? Точка (0,0) является предельной для множества задания.

Это извращение. Предел в точке по умолчанию определён только в том случае, когда сама функция определена в некоторой окрестности (пусть выколотой) этой точки.

[Padawan]

ewert в сообщении #407731 писал(а):

Padawan в сообщении #407719 писал(а):

Почему некорректно? Точка (0,0) является предельной для множества задания.

Это извращение.

Неправда.

[gris]

Раз уж я в самом начале сказал о некорректности, значит мне и отдуваться.
Это задача сугубо учебная, причём из самых первых в разделе о функциях многих переменных. Поэтому во избежание придирок следует всё оговаривать очень подробно. В некоторых учебниках предел сразу рассматривается по множеству с упомянутой предельной точкой. Но в таких случаях это записывается под знаком предела. Да, логично предположить, что по умолчанию в качестве множества берётся область определения, но это предположение не общепринято. Даже для этой функции, которую можно доопределить по непрерывности, я бы перед ответом произнёс слова либо об области определения, либо о доопределении. Иначе чего тут решать-то? Была бы это функция $f(x,y)=\dfrac{x^2+y^2}{\sin xy}$ было бы интереснее.
А тут либо по определению предела, либо по возможно звучавшей в лекциях теореме о пределе произведения специфических функций.

[Jenny]

=(

[Sasha2]

Но ведь простенькая лемма о произведении ограниченно на бесконечно малую действует и в случае функции нескольких переменных.
Поэтому, мне кажется и доопределять ничего не надо, указав лишь на то, что $x$ и $y$ не равны нулю. Но это ведь не доопределение, а указание на естественную ОДЗ.

[Legioner93]

Предела не существует, доказательство: $x_n=0$, $y_n=1/n$, предел по Гейне.

[Sasha2]

Нет предел существует и равен 0.
А Ваше $x_n=0$ это к чему и куда его приткнуть, если оно вне ОДЗ?

[Legioner93]

Определение предела функции $f$ по Коши в точке $a$ начинается с фразы: "существует проколотая $U_{\delta_0}(a) \subset D(f)$". А уже дальше для любых эпсилон найдется дельта... А у этой функции ни одна окрестность (если не понятно, то окрестность в данном случае - круг) ни принадлежит области определения. Так что предела нет.