Почему комплексные числа "работают" на практике ?

[Gortaur]

А я-то думал, что 4.

[_hum_]

Вот еще появились такие соображения:

есть сформулированная в поле вещественных чисел алгебраическая задача. Один из вариантов ее решения - вложить поле вещественных чисел в другое поле (посредством инъективного гомоморфизма). При этом из-за гомоморфности исходная задача сохранит свою форму. Инъективность и гомоморфность гарантируют, что любые алгебраические манипуляции с объектами из $\phi(\mathbb{R}) $ будут в точности соответствовать манипуляциям (причем тем же) с объектами из $\mathbb{R}$. Тогда, если потребовать, чтобы способ решения в расширенном поле нашей задачи был алгебраическим, то это вроде как и будет гарантировать, что полученное в результате решение, если оно попадает в $\phi(\mathbb{R})$, после применения $\phi^{-1}$ в точности будет давать решение исходной задачи.

С этой точки зрения поле комплексных чисел - это одно из таких вспомогательных полей, в котором проще решать "вещественные задачи". Но тогда , получается, что комплексные числа - чисто математическая вещь, а это, вроде как, устаревшее понимание - теперь, насколько я знаю, принято говорить, что они играют ту же роль, что и вещественные... Или, может, объяснение кроется в том, почему в этом поле легче оказывается решать задачи?

[ИСН]

_hum_, Вы платонист, что ли? Это у них некоторые понятия (те же действительные числа) объективно существуют в мире чистых идей, а придуманное людьми - так, баловство, мусор.
Но ведь всё придумано людьми, только кое-что раньше, кое-что позже.

[_hum_]

Вообще-то, по Платону, насколько я помню, "придуманное людьми" не "баловство", как Вы изволили выразиться, а суть "припоминание" тех чистых идей. Но это так.. к слову. Я понимаю, что вопрос околофилософский, и потому легче съерничать, чем попытаться разобраться с сутью. Но прошу, по возможности, не уходить в софистику и релятивизм.

Представьте, что Вы попали на несколько веков назад, и Вам дали задачу, в процессе решения которой приходится выходить за поле вещественных чисел. Вы это легко проделываете и показываете результат тогдашнему ученому. Вопрос: как вы обоснуете правильность полученного результата (считаем, что непосредственной подстановкой выполнить проверку не представляется возможным)?

[ИСН]

Ох, с трудом обосную. Я немножко в курсе истории математики, и помню, как этот момент пару веков стыдливо заметали под ковёр - "а теперь мы сделаем так, как будто можно, хотя так нельзя, ну а мы чуть-чуть, пока никто не видит".
Потом пришло строгое обоснование.

[_hum_]

ИСН в сообщении #407652 писал(а):

Потом пришло строгое обоснование.

А можете изложить суть этого строгого обоснования?

[ИСН]

Суть в том, что люди разрешили себе придумывать что угодно и не париться, "есть" оно или "нет". Главное - дать определения, да так, чтобы они сами себе не противоречили.

[Maslov]

_hum_, почитайте
Клайн М. Математика. Утрата определенности
Клайн М. Математика. Поиск истины

[_hum_]

2ИСН
Ну, это ответ чистого математика, которому всегда приходится работать только с чисто математическими задачами.
В реале же последовательность действий обычно:
содержательная модель -(1)-> математическая модель -(2)-> расчет мат. модели -(3)-> результат для содержательной модели
Поэтому, чтобы говорить о том, что полученный в этой цепочке результат действительно адекватен реальности, нужно обосновать, что композиция переходов (1), (2), (3) дает адекватный для исходной содержательной модели результат.

Например, есть у Вас задача расчета линейных размеров объекта, с заданными свойствами объема и площади. Это, допустим, приводит вас к кубическому уравнению, при решении которого Вы пользуетесь комплексными числами. В результате получаете вещественный ответ. Как можете обосновать, что построив объект с заданным размером, получите нужный объем (опять же, предполагая, что нельзя непосредственной подстановкой в кубическое уравнение проверить подлинность решения)?

2Maslov
Спасибо, поглядим.

[ИСН]

Замечательно. Я не математик вообще-то, просто так понимаю смысл математики. А связь её с реальностью - да, штука сложная и требующая вот этих всех промежуточных рассуждений, о которых Вы говорите.

[Ales]

_hum_ в сообщении #407676 писал(а):

Например, есть у Вас задача расчета линейных размеров объекта, с заданными свойствами объема и площади. Это, допустим, приводит вас к кубическому уравнению, при решении которого Вы пользуетесь комплексными числами. В результате получаете вещественный ответ. Как можете обосновать, что построив объект с заданным размером, получите нужный объем (опять же, предполагая, что нельзя непосредственной подстановкой в кубическое уравнение проверить подлинность решения)?

Неверный пример.
Такие уравнения решаются методом Ньютона или каким-либо другим аналогичным методом и без применения комплексных чисел.

Найдите пример из жизни и тогда будет тема для разговора: почему они работают.

-- Вт фев 01, 2011 16:37:19 --

Комплексные числа - конструкция, позволяющая получать правильные результаты, что подтверждается опытом.
Почему они работают? Конструкция составлена так, что не может не работать.

[Maslov]

_hum_ в сообщении #407676 писал(а):

Поэтому, чтобы говорить о том, что полученный в этой цепочке результат действительно адекватен реальности, нужно обосновать, что композиция переходов (1), (2), (3) дает адекватный для исходной содержательной модели результат.

На мой взгляд, в реале после построения математической модели необходимо экспериментально убедиться в её адекватности.
А что Вы вкладываете в понятие "содержательной модели"? Если она у Вас не математическая, то какая?

[ewert]

_hum_ в сообщении #407644 писал(а):

Представьте, что Вы попали на несколько веков назад, и Вам дали задачу, в процессе решения которой приходится выходить за поле вещественных чисел.

Комплексные числа появились в математике намного, намного раньше вещественных.

[Munin]

Мастак в сообщении #407386 писал(а):

Вспомнить про физику элементарных частиц - сперва вычисляют частицу, а потом её обнаруживают, причем вычисляют в моделях, где "реально" предполагают существование 11-мерных Миров.

Вроде, ни одна 11-мерная модель пока не предсказала ничего конкретного, и уж тем более не было обнаружено частиц по таким предсказаниям.

[Алексей К.]

_hum_ в сообщении #407676 писал(а):

Это, допустим, приводит вас к кубическому уравнению, при решении которого Вы пользуетесь комплексными числами. В результате получаете вещественный ответ.

При решении кубического уравнения я беру любой справочник и явно выписываю действительные и, если нужно, комплексные корни. Ибо знак дискриминанта и коэффициента $p$ в уравнении $y^3+py+q=0$ обычно известны. А если и неизвестны, то тоже не проблема --- выпишем явно все 3 варианта.