Вот еще появились такие соображения:
есть сформулированная в поле вещественных чисел алгебраическая задача. Один из вариантов ее решения - вложить поле вещественных чисел в другое поле (посредством инъективного гомоморфизма). При этом из-за гомоморфности исходная задача сохранит свою форму. Инъективность и гомоморфность гарантируют, что любые алгебраические манипуляции с объектами из
будут в точности соответствовать манипуляциям (причем тем же) с объектами из
. Тогда, если потребовать, чтобы способ решения в расширенном поле нашей задачи был алгебраическим, то это вроде как и будет гарантировать, что полученное в результате решение, если оно попадает в
, после применения
в точности будет давать решение исходной задачи.
С этой точки зрения поле комплексных чисел - это одно из таких вспомогательных полей, в котором проще решать "вещественные задачи". Но тогда , получается, что комплексные числа - чисто математическая вещь, а это, вроде как, устаревшее понимание - теперь, насколько я знаю, принято говорить, что они играют ту же роль, что и вещественные... Или, может, объяснение кроется в том, почему в этом поле легче оказывается решать задачи?