Почему комплексные числа "работают" на практике ?

[_hum_]

Есть ли какое-нибудь объяснение тому, что комплексные числа "работают" на практике. Вот что имею в виду:
с практикой непосредственно связаны только рациональные числа - они имеют содержательную интерпретацию , например, такую - m/n отвечает комбинированию операции соединения m одинаковых эталонов друг с другом и операции разделения на n равных частей. Вещественные - уже абстрактны (задействуют бесконечность), хотя еще допускают содержательную интерпретацию как те же операции соединения и разделения, только с возможностью комбинирования бесконечного числа этих операций. И вроде как понятно, почему они "работают" - потому как всегда приближаются рациональными.
А вот как быть с комплексными: например, есть задача, при решении которой в промежуточных расчетах происходит выход за поле вещественных чисел, но окончательный результат получается вещественным. Почему этот результат можно считать "рабочим", ведь мы на определенном этапе выходили за поле вещественных чисел, тем самым "отрывались от реальности" (от содержательной интерпретации)? Как говорил герой одного фильма, почему рассчитанные с помощью комплексных чисел мосты не рушатся.

[paha]

_hum_ в сообщении #407258 писал(а):

Как говорил герой одного фильма, почему рассчитанные с помощью комплексных чисел мосты не рушатся

вообще-то, Жуковский теорию крыла сочинял... но не суть:) Природа едина. Другого "ответа" нет.

[myra_panama]

Ну во всех книге о комп.числах первый что начнут о таких уравнениях:
$x^2+1=0$
У вас вопрос логичен .... то что всё в мире не вещественные но и существует мнимые вещи

[Joker_vD]

У вас интересное понятие "содержательной интерпретации".

_hum_ в сообщении #407258 писал(а):

А вот как быть с комплексными: например, есть задача, при решении которой в промежуточных расчетах происходит выход за поле вещественных чисел, но окончательный результат получается вещественным. Почему этот результат можно считать "рабочим", ведь мы на определенном этапе выходили за поле вещественных чисел, тем самым "отрывались от реальности" (от содержательной интерпретации)?

Да потому, что сама эта задача неявно содержит в себе комплексные числа. Она сама и является их "содержательной интерпретацией", потому нету никакого отрыва от реальности.

[Maslov]

Вот тут обсуждалось: Роль комплексных функций и переменных в физике.

[ewert]

_hum_ в сообщении #407258 писал(а):

Почему этот результат можно считать "рабочим", ведь мы на определенном этапе выходили за поле вещественных чисел, тем самым "отрывались от реальности" (от содержательной интерпретации)?

Аппарат комплексных чисел -- это всего лишь способ формализации некоторых выкладок. Всё, что получается с их помощью, можно было бы ровно с тем же успехом получить и без них, на языке лишь вещественных чисел, только выкладки оказались бы крайне уродливыми и совершенно неочевидными. Так что правильная постановка вопроса -- это не "почему работают", а "почему помогают". В принципе, потому, что они обладают некоторыми весьма благоприятными алгебраическими свойствами. Какими конкретно -- предмет отдельного разговора, но, во всяком случае, ситуация эта для математики вовсе не уникальна. Навскидку (это первое, что пришло в голову): некоторые факты из матричной алгебры становятся достаточно очевидными, если перевести их на операторный язык, хотя в самой матричной алгебре как таковой никаких операторов и нет.

[Мастак]

Философски "наверно" (определяя незыблемые примитивы) реальны только натуральные числа. А ноль, дробные, отрицательные, ... - это уже абстракции, опирающиеся на натуральные.

Название "мнимая" смущает?

А о чем человек думает полностью адекватно кроме абстракций?
Обо всем - только модели.

[_hum_]

По-моему, не стоит путать комплексные числа как абстракнтый мат. аппарат, удобный для различных представлений (тех же гармоник и т.п.), с комплексными числами как алгебраической системой, явившейся алгебраическим расширением вещественных чисел в силу потребности практики, а значит, по идее, несущей в себе некий "отпечаток реальности". Вопрос - в чем этот отпечаток. Конечно, в тех физических задачах, где комплексные числа используются только как удобный мат. инструмент (в той же теории Жуковского, упоминавшейся выше, или в гармоническом анализе сигналов), никаких проблем с обоснованием полученных с их помощью результатов нет - тут комплексные числа - лишь представление. А вот в задачах, в которых в процессе решения спонтанно возникает потребность выхода за пределы вещественных чисел - вот тут и проявляется вся "суть" комплексных чисел, которая позволяет вам выйти, а потом, вернувшись назад, быть убежденными что полученный результат все так же имеет отношение к реальности. И хотелось бы эту суть "ухватить".

[Maslov]

_hum_ в сообщении #407294 писал(а):

А вот в задачах, в которых в процессе решения спонтанно возникает потребность выхода за пределы вещественных чисел - вот тут и проявляется вся "суть" комплексных чисел, которая позволяет вам выйти, а потом, вернувшись назад, быть убежденными что полученный результат все так же имеет отношение к реальности.

Пример не приведете такой спонтанно возникшей потребности?

[_hum_]

Maslov в сообщении #407311 писал(а):

_hum_ в сообщении #407294 писал(а):

А вот в задачах, в которых в процессе решения спонтанно возникает потребность выхода за пределы вещественных чисел - вот тут и проявляется вся "суть" комплексных чисел, которая позволяет вам выйти, а потом, вернувшись назад, быть убежденными что полученный результат все так же имеет отношение к реальности.

Пример не приведете такой спонтанно возникшей потребности?

Ну, тот же классический пример с методом решения кубического уравнения (которое возникало и возникает, например, в геометрических задачах).

[Мастак]

_hum_ в сообщении #407294 писал(а):

По-моему, не стоит путать комплексные числа как абстракнтый мат. аппарат, удобный для различных представлений (тех же гармоник и т.п.), с комплексными числами как алгебраической системой, явившейся алгебраическим расширением вещественных чисел в силу потребности практики, а значит, по идее, несущей в себе некий "отпечаток реальности". Вопрос - в чем этот отпечаток. Конечно, в тех физических задачах, где комплексные числа используются только как удобный мат. инструмент (в той же теории Жуковского, упоминавшейся выше, или в гармоническом анализе сигналов), никаких проблем с обоснованием полученных с их помощью результатов нет - тут комплексные числа - лишь представление. А вот в задачах, в которых в процессе решения спонтанно возникает потребность выхода за пределы вещественных чисел - вот тут и проявляется вся "суть" комплексных чисел, которая позволяет вам выйти, а потом, вернувшись назад, быть убежденными что полученный результат все так же имеет отношение к реальности. И хотелось бы эту суть "ухватить".

Наверно во всем эффективном есть своя красота.
И да, например, есть проблема - вышел в параллельный Мир и оттуда всё решил и вернулся с успехом.
Например, прямая задача линейного программирования тяжела в решении, а двойственная до безобразия проста: вышел в параллельный мир, так сказать.

Вспомнить ещё кватернионы при моделировании 4-хмерностей и которые на практике используются в компьютерной графике.

Вспомнить про физику элементарных частиц - сперва вычисляют частицу, а потом её обнаруживают, причем вычисляют в моделях, где "реально" предполагают существование 11-мерных Миров.

Красота - страшная сила.

[ИСН]

Да любая абстракция - параллельный мир. И действительные числа тоже. И, что уж там, натуральные: Вы видели в природе два? Не два человека, не два топора, а идёшь такой, и тут тебе навстречу число два? Я - нет, не видел. Видел, например, два яблока. Но они же, строго говоря, не одинаковые. Ах, электроны одинаковые. А кто их видел?

[Dandan]

ИСН в сообщении #407390 писал(а):

Да любая абстракция - параллельный мир. И действительные числа тоже. И, что уж там, натуральные: Вы видели в природе два? Не два человека, не два топора, а идёшь такой, и тут тебе навстречу число два? Я - нет, не видел. Видел, например, два яблока. Но они же, строго говоря, не одинаковые. Ах, электроны одинаковые. А кто их видел?

Поддерживаю, какой-то сверхестественный смысл в употребимости комплексных чисел врядле можно найти. Такая же математическая конструкция, как и многие другие. А то, что с помощью них можно красиво записывать всякие факты и утверждения - ну, математика она вся такая =)

-- Вт фев 01, 2011 00:37:50 --

А то, что для получения "обычных" результатов иногда приходится выходить "за рамки" используя всякие другие приспособления - это абсолютно нормально, ведь по теореме Геделя любая непротиворечивая достаточно сильная теория - не полна. И чтобы доказывать утверждения сформулированные в какой-то теории приходится использовать более сильные теории.

[Padawan]

Я думаю, и действительные числа, и комплексные в некотором смысле реально существуют в природе, так как отражают её законы. Любая цивилизация, решившая изучать природу, придет к тем же самым математическим моделям (к изоморфным), тоже использующим эти числа. Значит, они реальны, а не являются лишь плодом человеческого воображения.

[alex1910]

Padawan в сообщении #407486 писал(а):

Я думаю, и действительные числа, и комплексные в некотором смысле реально существуют в природе, так как отражают её законы. Любая цивилизация, решившая изучать природу, придет к тем же самым математическим моделям (к изоморфным), тоже использующим эти числа. Значит, они реальны, а не являются лишь плодом человеческого воображения.

Они реальны хотя бы потому, что моделируют движения евклидовой плоскости (которая тоже является лишь плодом человеческого воображения :) )

И вообще - в корнях из минус единицы нет ничего противоестественного, например 2*2=-1(mod 5)