Основная теорема о конечных множествах

[Andrey173]

Конечное множество не равномощно никакому его собственному подмножеству и собственному надмножеству.
Док-во в книге которую я читаю довольно объемно и использует мат. индукцию.
http://www.pm298.ru/kbmnozh.php - вот тут оно есть.
Почему нельзя просто заметить что в любом собственном подмножестве B множества A, меньше элементов чем в самом множестве A. Но согласно определению равномощности каждому $a \in A$ должен соответствовать какой-то $b \in B$ (причем только один), и разным элементам из A должны соответствовать разные элементы из B. Очевидно, что это невыполнимо, в B просто не хватит элементов.

[MaximVD]

Выражение "в $B$ не хватит элементов" не очень чёткое. Понятно, что это интуитивное соображение, но Вашу идею нужно доказать как-то формально, что и сделано в указанной книге.

[Andrey173]

Но ведь формально можно указать, что в B меньше элементов.
Пусть тогда например в A i элементов, а в B j элементов.
Пронумеруем их так, чтобы $a_1\to b_1, a_2\to b_2 ,a_j\to b_j$ (а если в B найдется такой элемент, для которого не будет прообраза в A, то они уже не равномощны)
Тогда для $a_{j+1}..a_i$ не будет образов в B.

[ewert]

Andrey173 в сообщении #406323 писал(а):

разным элементам из A должны соответствовать разные элементы из B. Очевидно, что это невыполнимо, в B просто не хватит элементов.

Вы ссылаетесь на рассуждение типа: "поставим в соответствие первому элементу первый, второму -- второй и т.д.". Так вот это "и т.д." -- и есть математическая индукция. В других разделах математики обычно словами "и т.д." и ограничиваются, чтобы не затемнять более содержательные аспекты избыточной формальностью. Но в такой сугубо формальной науке, как теория множеств, это не очень уместно.

[caxap]

Andrey173
А вы теорему Кантора--Бернштейна уже прошли?

[Andrey173]

caxap
Нет, я не изучал подробно теорию множеств. Вообще книга по теории чисел, просто во вступлении описываются основы множеств.
Спасибо за ответы, я понял)