2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Числа вида (2^k)-1
Сообщение25.01.2011, 20:47 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Как себя ведёт число $2^l - 1$ при различных $l \in \mathbb{N}$ в плане разложения на простые множители?
$2^2 - 1$, $2^3 - 1$, $2^5 - 1$ --- простые, $2^4-1 = 3 \cdot 5$. Дальше не перебирал.

Вообще, ясно, что при чётных $l$ число получается составное. Бесконечно ли много простых получается при нечётных $l$? Могут ли быть составные при простых $l$? Есть ли какое-то ограничение на количество простых в разложении или на их степени?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории чисел
Сообщение25.01.2011, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12398
Я немножко ковырялся в таких числах в связи с задачей получения максимального десятичного периода дроби при минимальном знаменателе. Вплоть до 30-ти никаких особенных закономерностей не обнаружил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории чисел
Сообщение25.01.2011, 20:54 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Вопросы детские, так как $x^d-1|x^l-1$ при $d|l$.
А некоторые - известные нерешенные, как например о бесконечности простых чисел Мерсена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории чисел
Сообщение26.01.2011, 19:29 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
http://mathworld.wolfram.com/CyclotomicPolynomial.html
для полноты картины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории чисел
Сообщение26.01.2011, 19:42 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Раз зашла речь об этом, то лучше вводит циклотомические многочлены от двух переменных $x,y$ и определить $$\Phi_m(x,y)=\prod_{(l,m)=1}(x-exp(\frac{2\pi il}{m})y).$$
Дело в том, что среди однородных многочленов только они дают кандидаты на простые числа при взаимно простых x,y. К тому же все известные специальные простые являются простыми для некоторых m,x,y.
Например $m=2^{n+1},x=2,y=1$ числа Ферма, при произвольных x,y можно назвать обобщенными числами Ферма. $m=p$ дает числа Мерсена при $x=2,y=1$. При других можно назвать обобщенными числами Мерсена. Случай $m=p,x=2,y=-1$ числа Вагстафа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории чисел
Сообщение27.01.2011, 21:30 


03/10/06
826
Могут ли быть составные при простых?
Могут и их много: $2^{11}-1 = 23*89$
При простом $N$ $2^{N}-1 = (AN + 1)(BN + 1) = (8C - 1)(8D + 1)$

Простых найдено не так уж много, но рекорды делают на числах Мерсенна.
http://primes.utm.edu/notes/faq/NextMersenne.html
Where is the next Mersenne prime?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group