Числа вида (2^k)-1

[Профессор Снэйп]

Как себя ведёт число $2^l - 1$ при различных $l \in \mathbb{N}$ в плане разложения на простые множители?
$2^2 - 1$, $2^3 - 1$, $2^5 - 1$ --- простые, $2^4-1 = 3 \cdot 5$. Дальше не перебирал.

Вообще, ясно, что при чётных $l$ число получается составное. Бесконечно ли много простых получается при нечётных $l$? Могут ли быть составные при простых $l$? Есть ли какое-то ограничение на количество простых в разложении или на их степени?

[Утундрий]

Я немножко ковырялся в таких числах в связи с задачей получения максимального десятичного периода дроби при минимальном знаменателе. Вплоть до 30-ти никаких особенных закономерностей не обнаружил.

[Руст]

Вопросы детские, так как $x^d-1|x^l-1$ при $d|l$.
А некоторые - известные нерешенные, как например о бесконечности простых чисел Мерсена.

[Sonic86]

http://mathworld.wolfram.com/CyclotomicPolynomial.html
для полноты картины.

[Руст]

Раз зашла речь об этом, то лучше вводит циклотомические многочлены от двух переменных $x,y$ и определить

$$\Phi_m(x,y)=\prod_{(l,m)=1}(x-exp(\frac{2\pi il}{m})y).$$

Дело в том, что среди однородных многочленов только они дают кандидаты на простые числа при взаимно простых x,y. К тому же все известные специальные простые являются простыми для некоторых m,x,y.
Например $m=2^{n+1},x=2,y=1$ числа Ферма, при произвольных x,y можно назвать обобщенными числами Ферма. $m=p$ дает числа Мерсена при $x=2,y=1$. При других можно назвать обобщенными числами Мерсена. Случай $m=p,x=2,y=-1$ числа Вагстафа.

[yk2ru]

Могут ли быть составные при простых?
Могут и их много: $2^{11}-1 = 23*89$
При простом $N$ $2^{N}-1 = (AN + 1)(BN + 1) = (8C - 1)(8D + 1)$

Простых найдено не так уж много, но рекорды делают на числах Мерсенна.
http://primes.utm.edu/notes/faq/NextMersenne.html
Where is the next Mersenne prime?