Задачка по теории игр.

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

\[ \begin{array}{l} a_{ij} = EF\left( {\xi ,\eta ,\theta _1 ,\theta _2 } \right) = \\ = \sum\limits_{i = 0}^n {} \sum\limits_{j = 0}^n {} \sum\limits_{k = 1}^2 {} \sum\limits_{l = 1}^2 {F\left( {\xi ,\eta ,\theta _1 ,\theta _2 } \right)P\left( {\xi = i,\eta = j,\theta _1 = k,\theta _2 = l} \right)} . \\ \end{array} \]

[antoshka1303]

ой, кое -какая опечатка.

[antoshka1303]

Матрицы игры будет выглядеть так!

\[ \underbrace {\sum\limits_{k = 1}^2 {\sum\limits_{l = 1}^2 {F\left( {i,j,\theta _1 = k,\theta _2 = l} \right)P\left( {\theta _1 = k} \right)P\left( {\theta _1 = k} \right)} } }_{b_{ij} = EF\left( {i,j,\theta _1 ,\theta _2 } \right)} \]

Добавлено спустя 2 часа 41 минуту 3 секунды:

Итак, для количества карт у игроков = 5. Матрица игры будет такая.

\[ B = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & { - \frac{2}{5}} & { - \frac{4}{5}} & { - \frac{6}{5}} & { - \frac{8}{5}} & { - 2} \\ {\frac{2}{5}} & 0 & { - \frac{6}{{25}}} & { - \frac{{14}}{{25}}} & { - \frac{{22}}{{25}}} & { - \frac{6}{5}} \\ {\frac{4}{5}} & {\frac{6}{{25}}} & 0 & {\frac{2}{{25}}} & { - \frac{4}{{25}}} & { - \frac{2}{5}} \\ {\frac{6}{5}} & {\frac{{14}}{{25}}} & { - \;\frac{2}{{25}}} & 0 & {\frac{{14}}{{25}}} & {\frac{2}{5}} \\ {\frac{8}{5}} & {\frac{{22}}{{25}}} & {\frac{4}{{25}}} & { - \frac{{14}}{{25}}} & 0 & {\frac{6}{5}} \\ 2 & {\frac{6}{5}} & {\frac{2}{5}} & { - \frac{2}{5}} & { - \frac{6}{5}} & 0 \\ \end{array}} \right) \]

[Yuri Gendelman]

Вроде бы правильно.
Ну как, автомат гарантирован?

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

:!: Вроде бы правильно.
Ну как, автомат гарантирован?

Эээ, это толь первая часть решения задачи. Еще нужно найти ВСе оптимальные стратегии, цена игры для кососимметрической мтрицы = 0. Теперь нужно исследовать матрицу.вычеркивать строки соглавно теореме о доминировании.
у меня получилось после вычеркивания вот это

\[ \frac{1}{{25}}\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 2 & { - 4} & { - 10} \\ { - 2} & 0 & {14} & {10} \\ 4 & { - 14} & 0 & {30} \\ 2 & { - 10} & { - 30} & 0 \\ \end{array}} \right) \]

что-то больше не могу найти доминированные строки...

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

что-то больше не могу найти доминированные строки...

А сколько их должно быть?
Кроме того, у Вас описка в матрице 4х4

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

antoshka1303 писал(а):

что-то больше не могу найти доминированные строки...

А сколько их должно быть?
Кроме того, у Вас описка в матрице 4х4

где описка?

Добавлено спустя 39 минут 28 секунд:

а, нашел.

\[ A_4 = \frac{1}{{25}}\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 2 & { - 4} & { - 10} \\ { - 2} & 0 & {14} & {10} \\ 4 & { - 14} & 0 & {30} \\ {10} & { - 10} & { - 30} & 0 \\ \end{array}} \right) \]

теперь дальше нужно решить систему линейных неравенств, для определения какие столбцы/строки являются выпуклой линейной комбинацией остальных...

[antoshka1303]

Итак, матрица игры постона

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & { - \frac{2}{5}} & { - \frac{4}{5}} & { - \frac{6}{5}} & { - \frac{8}{5}} & { - 2} \\ {\frac{2}{5}} & 0 & { - \frac{6}{{25}}} & { - \frac{{14}}{{25}}} & { - \frac{{22}}{{25}}} & { - \frac{6}{5}} \\ {\frac{4}{5}} & {\frac{6}{{25}}} & 0 & {\frac{2}{{25}}} & { - \frac{4}{{25}}} & { - \frac{2}{5}} \\ {\frac{6}{5}} & {\frac{{14}}{{25}}} & { - \;\frac{2}{{25}}} & 0 & {\frac{{14}}{{25}}} & {\frac{2}{5}} \\ {\frac{8}{5}} & {\frac{{22}}{{25}}} & {\frac{4}{{25}}} & { - \frac{{14}}{{25}}} & 0 & {\frac{6}{5}} \\ 2 & {\frac{6}{5}} & {\frac{2}{5}} & { - \frac{2}{5}} & { - \frac{6}{5}} & 0 \\ \end{array}} \right) \]

Эта матрица кососимметрическая, для такой матрицы цена игры =0. Теперь нужно найти Все оптимальные стратегии. Я использовал теорему о доминировании.Вычеркивал строки и столбцы. Получилась матрица такая.

\[ \frac{1}{{25^6 }}\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 2 & { - 4} & { - 10} \\ { - 2} & 0 & {14} & {10} \\ 4 & { - 14} & 0 & {30} \\ {10} & { - 10} & { - 30} & 0 \\ \end{array}} \right) \]

Дальше решаю с мопощью МЭПЛА систему из 4 неравенств на поиск строки/столбца, который является выпуклой линейной комбинацией остальных столбцов, но у меня получается, что такоий комбиниции нет, как быть?Подскажите, плиз.

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

Дальше решаю с мопощью МЭПЛА систему из 4 неравенств на поиск строки/столбца, который является выпуклой линейной комбинацией остальных столбцов, но у меня получается, что такоий комбиниции нет, как быть?Подскажите, плиз.

1. $\frac{1}{{25^6 }}$ - откуда взялась 6 степень?
2. Посмотрите пример 17 (стр.51) и параграф 10 1-й главы.
3. Ни Maple, ни другие математические пакеты у меня сейчас не установлены.

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

1. $\frac{1}{{25^6 }}$ - откуда взялась 6 степень?

потому что мы выпосим из каждой строки 1/25, вот и получается 6 степень...

[незваный гость]

antoshka1303 писал(а):

потому что мы выпосим из каждой строки 1/25, вот и получается 6 степень...

о-о. Вы случайно не спутали матрицы и определители?

[antoshka1303]

незваный гость писал(а):

:evil:

antoshka1303 писал(а):

потому что мы выпосим из каждой строки 1/25, вот и получается 6 степень...

о-о. Вы случайно не спутали матрицы и определители?

Ой, согласен. спасибо. Но от этого не легче.

Добавлено спустя 1 час 27 минут 51 секунду:

Кажется все-таки мэпл выдал решение
x*=y*=(0,0,5/11,5/11,0,1/11)

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

Кажется все-таки мэпл выдал решение
x*=y*=(0,0,5/11,5/11,0,1/11)

Средняя цена игры для 5-й чистой стратегии не равна 0.

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

antoshka1303 писал(а):

Кажется все-таки мэпл выдал решение
x*=y*=(0,0,5/11,5/11,0,1/11)

Средняя цена игры для 5-й чистой стратегии не равна 0.

так у меня цена пятой стратегии = 1/11. У меня нумерация с нулевой стратегии.

как же?В промежуточных вычислениях у меня получилось

\[ x^* = \left( {x_0 ,x_1 ,x_2 ,x_3 ,x_4 ,x_5 } \right) \]

- оптимальная стретегия игрока 1
нулевая и первая стратегия являются несущественными.
Предположим, что остальные стратегии игрока являются существенными, тогда используем свойство оптимальных стратегий для кососимметричной матрицы

\[ x^* A \ge 0 \]

используем матрицу
матрицу

\[ A_4 = \frac{1}{{25}}\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 2 & { - 4} & { - 10} \\ { - 2} & 0 & {14} & {10} \\ 4 & { - 14} & 0 & {30} \\ {10} & { - 10} & { - 30} & 0 \\ \end{array}} \right) \]

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} \begin{array}{l} - 2x_3 + 4x_4 + 10x_5 \ge 0 \\ 2x_2 - 14x_4 - 10x_5 \ge 0 \\ \end{array} \\ { - 4x_2 + 14x_3 - 30x_5 \ge 0} \\ { - 10x_2 + 10x_3 + 30x_4 \ge 0} \\ {x_2 ,x_3 ,x_4 ,x_5 \ge 0} \\ {\sum\limits_{i = 2}^5 {x_i = 1} } \\ {} \\ \end{array}} \right. \]

как раз получим решения:

\[ x_2 = \frac{5}{{11}};x_3 \frac{5}{{11}};x_5 \frac{1}{{11}};x_4 = 0 \]

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

Средняя цена игры для 5-й чистой стратегии не равна 0.

так у меня цена пятой стратегии = 1/11. У меня нумерация с нулевой стратегии.

Я не отметил, что у меня 5-я при нумерации с 1, т.е. Ваша 4-я. У которой вес все равно равен 0. А для Вашей 4-й средняя цена игры = 0. А Вы и не проверили.

В заключение: у Вас в теории игр огромный прогресс.