2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма и произведение цифр палиндрома в десятичной записи
Сообщение25.01.2011, 19:09 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
а) Сколько существует палиндромов, сумма цифр каждого из которых на единичку больше трети произведения его цифр?
б) Тот же вопрос, но все цифры палиндрома должны быть больше 1.

Решения в сети я не нашла, а моё не застраховано от багов и, к тому же, размазано.

У меня вышло для а) бесконечно много, а для б) - только один (292).

В пункте а) пусть в палиндроме будет чётное число цифр, средние будут тройками, остальные - единичками. Например, 11111111333311111111. Здесь произведение равно 81, а сумма равна 28.
Если троек в середине будет уже не 4, а 6,то понадобится добавить по (244-3\cdot6)/2=113 единичек с каждого боку. Далее, будем добавлять по 2 тройки на каждом этапе, имея произведением степень тройки с чётным натуральным показателем, а сумму будем добирать с помощью единичек. Треть степени тройки, увеличенная на 1 всегда чётна, как и сумма чётного числа троек, следовательно, всегда можно добавить равное число единичек с каждого боку.

Пункт б). Хотя бы одна из цифр должна делиться на 3, в противном случае сумма цифр не будет целой. Одно- и дву- значных таких палиндромов, очевидно, не существует.
Если палиндром трёхзначный, и первая цифра равна 2, то получаем уравнение (x+4-1)\cdot3=4x, где x - средняя цифра. Решая, имеем x=9, а сам палиндром равен 292.
Составив аналогичные уравнения для других первых цифр, убеждаемся, что существует лишь один трёхзначный палиндром, удовлетворяющий условию задачи.
Если палиндром 4-значный, то возьмём за x наибольшую его цифру. Тогда сумма цифр не более 4x, а произведение - не менее 12x (все цифры двойками быть не могут, ибо хотя бы одна должна делиться на 3). Но отношение произведения к сумме обязано быть менее 3. Противоречие (которое для более чем 4-значных чисел тем очевиднее, чем цифр больше).

-- Вт янв 25, 2011 19:17:54 --

Единственное, что смущает меня в моём же решении, это полное игнорирование того, что в условии задачи присутствует слово "them", а не ''it". Вот, кстати, оригинальный текст условия (седьмая задача):

http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/...s-pol/ap87.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма и произведение цифр палиндрома в десятичной записи
Сообщение27.01.2011, 01:28 


05/01/11
81
Первый пункт: очевидно, верен.
Второй пункт: рассуждал сам, пришел к тому же выводу.

Двузначных палиндромов (перебором) нет - ближайшие значения для палиндрома 66. Из трехзначных годится только 292. Далее, чем больше число цифр палиндрома, тем больше разница между $3(\sum a_i - 1) = \prod a_i$ (уже палиндром 2332 - не годится). Так что, думаю, Ваше решение верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма и произведение цифр палиндрома в десятичной записи
Сообщение27.01.2011, 12:59 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Lazy в сообщении #405097 писал(а):
Первый пункт: очевидно, верен.
Второй пункт: рассуждал сам, пришел к тому же выводу.

Двузначных палиндромов (перебором) нет - ближайшие значения для палиндрома 66. Из трехзначных годится только 292. Далее, чем больше число цифр палиндрома, тем больше разница между $3(\sum a_i - 1) = \prod a_i$ (уже палиндром 2332 - не годится). Так что, думаю, Ваше решение верно.

Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group