Сумма и произведение цифр палиндрома в десятичной записи

[Xenia1996]

а) Сколько существует палиндромов, сумма цифр каждого из которых на единичку больше трети произведения его цифр?
б) Тот же вопрос, но все цифры палиндрома должны быть больше 1.

Решения в сети я не нашла, а моё не застраховано от багов и, к тому же, размазано.

У меня вышло для а) бесконечно много, а для б) - только один (292).

В пункте а) пусть в палиндроме будет чётное число цифр, средние будут тройками, остальные - единичками. Например, 11111111333311111111. Здесь произведение равно 81, а сумма равна 28.
Если троек в середине будет уже не 4, а 6,то понадобится добавить по (244-3\cdot6)/2=113 единичек с каждого боку. Далее, будем добавлять по 2 тройки на каждом этапе, имея произведением степень тройки с чётным натуральным показателем, а сумму будем добирать с помощью единичек. Треть степени тройки, увеличенная на 1 всегда чётна, как и сумма чётного числа троек, следовательно, всегда можно добавить равное число единичек с каждого боку.

Пункт б). Хотя бы одна из цифр должна делиться на 3, в противном случае сумма цифр не будет целой. Одно- и дву- значных таких палиндромов, очевидно, не существует.
Если палиндром трёхзначный, и первая цифра равна 2, то получаем уравнение (x+4-1)\cdot3=4x, где x - средняя цифра. Решая, имеем x=9, а сам палиндром равен 292.
Составив аналогичные уравнения для других первых цифр, убеждаемся, что существует лишь один трёхзначный палиндром, удовлетворяющий условию задачи.
Если палиндром 4-значный, то возьмём за x наибольшую его цифру. Тогда сумма цифр не более 4x, а произведение - не менее 12x (все цифры двойками быть не могут, ибо хотя бы одна должна делиться на 3). Но отношение произведения к сумме обязано быть менее 3. Противоречие (которое для более чем 4-значных чисел тем очевиднее, чем цифр больше).

-- Вт янв 25, 2011 19:17:54 --

Единственное, что смущает меня в моём же решении, это полное игнорирование того, что в условии задачи присутствует слово "them", а не ''it". Вот, кстати, оригинальный текст условия (седьмая задача):

http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/...s-pol/ap87.html

[Lazy]

Первый пункт: очевидно, верен.
Второй пункт: рассуждал сам, пришел к тому же выводу.

Двузначных палиндромов (перебором) нет - ближайшие значения для палиндрома 66. Из трехзначных годится только 292. Далее, чем больше число цифр палиндрома, тем больше разница между $3(\sum a_i - 1) = \prod a_i$ (уже палиндром 2332 - не годится). Так что, думаю, Ваше решение верно.

[Xenia1996]

Lazy в сообщении #405097 писал(а):

Первый пункт: очевидно, верен.
Второй пункт: рассуждал сам, пришел к тому же выводу.

Двузначных палиндромов (перебором) нет - ближайшие значения для палиндрома 66. Из трехзначных годится только 292. Далее, чем больше число цифр палиндрома, тем больше разница между $3(\sum a_i - 1) = \prod a_i$ (уже палиндром 2332 - не годится). Так что, думаю, Ваше решение верно.

Спасибо!