Сумма ряда

[Dmitro]

Здравствуйте.
Подскажите пожалуйста как найти (аналитически) сумму ряда
$1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}$.
Проверка показала, что ряд сходится. Численно рассчитал, что его сумма =1,2337… Но как найти аналитическое выражение для суммы?
В учебниках каждый элемент красиво раскладывают на сумму простых дробей, после чего для суммы ряда в целом «внутренние» члены взаимоуничтожаются, а члены в конце суммы стремятся к нулю и мы ими пренебрегаем – что осталось – то результат. Но только $\frac{1}{(2n-1)^2}$ уже является простой дробью, и я что-то не могу сообразить, как ее представить такой суммой (а точнее разностью), чтобы при суммировании ряда практически «всё внутреннее» уничтожилось.
Уже пробовал представить ряд в таком виде
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=1+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{(4n-1)^2}+\frac{1}{(4n+1)^2}\right)$,
но тут с каждой из дробей та же проблема.
Подскажите как действовать.

[Xavu Bunepe]

Dmitro К сожалению я не могу обстоятельно помочь Вам в указанном вопросе, но точно знаю, что все возможные операции и преобразования над суммами описываются в книге Конкретная математике, во втором разделе с названием Исчисление сумм

[ShMaxG]

Dmitro
Воспользуйтесь тем, что $\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1} {{{n^2}}}} = 1 + \frac{1} {{{2^2}}} + \frac{1} {{{3^2}}} + ... = \frac{{{\pi ^2}}} {6}\]$.

[gris]

А что если добавить к этому ряду ряд из обратных чётных квадратов? Ряды сходятся абсолютно, поэтому любые действия с их членами правомочны. И использовать известную сумму для получившегося ряда.
дачтожтакое
Да я понимаю, что Вы именно это и имели. Просто я начал, когда ещё не видел Вашего сообщения. И удалить не успел. Ну пусть будет. А прав Он про подмётки-то....

[ShMaxG]

gris
Ну я вообще-то это и имел ввиду...

[ewert]

Dmitro в сообщении #403805 писал(а):

Подскажите как действовать.

Подобрать какой-нибудь подходящий ряд Фурье. Скажем, разложение $f(x)=|x|$ на промежутке $[-\pi;\pi]$ -- это

$f(x)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{4}{\pi}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{\cos(2k+1)x}{(2k+1)^2}\,,$

откуда в нуле Ваш ряд и получается.

[Dmitro]

Ой, сразу столько вариантов. Спасибо!
И опять есть вопросы.

1) Xavu Bunepe , Вы посоветовали: Конкретная математика. Основание информатики, Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник?

2) По варианту, предложенному ShMaxG и gris
Дополним ряд
$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}$.
И опять, после дополнения ряда как вычислить суммы полного ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ (которая уже известна, но я хочу сам ее вывести) и ряда-дополнителя $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}$?
Если идти по простому пути, то возникает вопрос: равны ли суммы рядов с четными и нечетными аргументами в знаменателе -
$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}$? И единицу рассматривать как элемент ряда или как дополнительный член в сумме? Т.е.
$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=1+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$
и далее рассматривать ряды "без единицы" $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}$ и $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$? В смысле равны ли суммы рядов $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$?

3) Уважаемый ewert, простите, а в выражении
$f(x)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{4}{\pi}\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{\cos(2k+1)x}{(2k+1)^2}$
нет ошибки? Ведь при $x=0$ получаем $f(0)=\dfrac{\pi}{2}$ и сумма пропадает.
Хотя, из ряда Фурье так сходу я пока не могу найти результат – надо будет разобраться детальнее.

Подскажите, в какой литературе, кроме Конкретной математики, стоит посмотреть материал по этому вопросу.

[ShMaxG]

Dmitro в сообщении #403847 писал(а):

И опять, после дополнения ряда как вычислить суммы полного ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

Оо, этот ряд можно вычислить огромным числом способов! Один из них -- те же ряды Фурье, достаточно рассмотреть такое разложение:

$\[{x^2} = \frac{{{\pi ^2}}} {3} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{4{{\left( { - 1} \right)}^n}}} {{{n^2}}}\cos nx} ,{\text{ }}x \in \left[ { - \pi ,\pi } \right]\]$

Другие способы смотрите, например, у Кохася К., "Сумма обратных квадратов", ссылка на файл:

http://www.google.ru/url?sa=t&source=we ... 3w&cad=rjt

-- Пн янв 24, 2011 18:00:37 --

Dmitro в сообщении #403847 писал(а):

то возникает вопрос: равны ли суммы рядов с четными и нечетными аргументами в знаменателе -

Нет, не равны.

-- Пн янв 24, 2011 18:07:19 --

У ewert вроде тоже ошибки нет. Просто Вы почему-то положили, что косинус нуля равен 0, а не 1.

[Dmitro]

Благодарю. Буду разбираться.
Ааа, в том смысле, что $x$ в аргументе косинуса: ${\cos((2k+1)x)$. Извините, я ошибочно воспринял, что сам косинус умножается.
Еще раз спасибо.

[ewert]

Dmitro в сообщении #403847 писал(а):

В смысле равны ли суммы рядов

Как они могут быть равны, если при почленном вычитании получается явно знакоопределённое выражения?...

[gris]

Я помню вычисление суммы этого ряда в книге Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения".
Кстати, намекаю, если Вы ещё не сделали это: у ряда обратных чётных квадратов можно вынести за скобку постоянный множитель.

[Dmitro]

Да, действительно, на счет знакоопределённости я сразу не прочувствовал. И в разложении Фурье $x$ по определению в аргументе и нечего его было там по-всякому воспринимать.
Спасибо ewert, получилось
$ \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}$.
Но это так, с наскока, еще надо разбираться откуда это всё берется и прочувствовать.
gris, спасибо за намек !
$\dfrac{\pi^2}{6}=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)^2}+\dfrac{1}{2^2}\left(\dfrac{\pi^2}{6}\right)$,
откуда получаем тот же результат.
Теперь срочно за книги. Спасибо за ссылку.

[ewert]

Dmitro в сообщении #403903 писал(а):

получилось
$ \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}$.

Ну да, тем более что это с Вашими же численными прикидками согласуется.