Ой, сразу столько вариантов. Спасибо!
И опять есть вопросы.
1)
Xavu Bunepe , Вы посоветовали: Конкретная математика. Основание информатики, Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник?
2) По варианту, предложенному
ShMaxG и
grisДополним ряд
![$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}$ $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/f/9cfbf77c0125616a585dd20254e1b6e482.png)
.
И опять, после дополнения ряда как вычислить суммы полного ряда
![$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/d/2bd69ff72dad186be529f9bae1979f0882.png)
(которая уже известна, но я хочу сам ее вывести) и ряда-дополнителя
![$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}$ $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/5/24539664dbe4b1f3d1eba0bcb0df60b482.png)
?
Если идти по простому пути, то возникает вопрос: равны ли суммы рядов с четными и нечетными аргументами в знаменателе -
![$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}$ $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/c/eaccc6a0e02cf110c2b3c8b548c7480382.png)
? И единицу рассматривать как элемент ряда или как дополнительный член в сумме? Т.е.
![$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=1+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$ $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=1+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/2/412f5f1328d0c4d8714ac91203b3834682.png)
и далее рассматривать ряды "без единицы"
![$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}$ $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/5/24539664dbe4b1f3d1eba0bcb0df60b482.png)
и
![$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$ $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/d/dbd33a25a9214d27c9aee07354a89ef682.png)
? В смысле равны ли суммы рядов
![$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$ $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/5/d0588069b5757e281f45db4b1d7c33a982.png)
?
3) Уважаемый
ewert, простите, а в выражении
![$f(x)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{4}{\pi}\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{\cos(2k+1)x}{(2k+1)^2}$ $f(x)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{4}{\pi}\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{\cos(2k+1)x}{(2k+1)^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/a/17a92ebee56f514fd5b5714647b817f482.png)
нет ошибки? Ведь при
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
получаем
![$f(0)=\dfrac{\pi}{2}$ $f(0)=\dfrac{\pi}{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/2/e6299973d9c596315f940ee72b8a84c782.png)
и сумма пропадает.
Хотя, из ряда Фурье так сходу я пока не могу найти результат – надо будет разобраться детальнее.
Подскажите, в какой литературе, кроме Конкретной математики, стоит посмотреть материал по этому вопросу.