2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 кольцо многочленов над полем: сколько простых второй степени
Сообщение22.01.2011, 18:15 


02/01/11
69
помогите, пожалуйста, решить такое задание:
$p$ - простое число. $ F_p $ - поле по модулю $p.$ $F_p[x]$ - кольцо многочленов с коэффициентами из $F_p$. Сколько многочленов второй степени из этого кольца - простые??

Задание было бы понятным если бы было дано для конкретного поля, например $F_5$. а так даже не понятно с чего и начать... ведь не зря сказано что p - простое число?? для чего-то это необходимо???
общий вид многочленов второй степени будет $ ax^2+bx+c, a,b,c\in F_p $. т.е. вся суть сводится к нахождению коэффициентов??

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение22.01.2011, 18:43 


30/06/06
313
Что такое "простой многочлен"?

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение22.01.2011, 20:41 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Наверное, имелись в виду неприводимые многочлены. Или многочлены, чьи главные идеалы просты, что в принципе то же самое.

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение22.01.2011, 21:04 


02/01/11
69
в задании это не указано, но думаю да, это неприводимый многочлен...

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 00:07 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Посчитайте, сколько всего многочленов второй степени и сколько приводимых многочленов второй степени. Затем вычтите одно из другого.

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 00:22 


02/01/11
69
neo66 в сообщении #403271 писал(а):
Посчитайте, сколько всего многочленов второй степени и сколько приводимых многочленов второй степени. Затем вычтите одно из другого.


т.е. так:
т.к. в поле $ F_p$ элементы будут такими {0, 1, 2, ... , p-1}, то всего возможных вариантов многочленов второго типа будет размещение из p по 3, т.е. $\frac {p!}{(p-3)!}$. Верно?
Далее, всякий многочлен первой степени неприводим, т.е. уже $\frac {p!}{(p-2)!}$ многочлена будут простыми, так?
а как найти остальные??? или как посчитать приводимые многочлены??

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 00:38 


25/08/05
645
Україна
flame19 в сообщении #403273 писал(а):
neo66 в сообщении #403271 писал(а):
Посчитайте, сколько всего многочленов второй степени и сколько приводимых многочленов второй степени. Затем вычтите одно из другого.


т.е. так:
т.к. в поле $ F_p$ элементы будут такими {0, 1, 2, ... , p-1}, то всего возможных вариантов многочленов второго типа будет размещение из p по 3, т.е. $\frac {p!}{(p-3)!}$. Верно?
Далее, всякий многочлен первой степени неприводим, т.е. уже $\frac {p!}{(p-2)!}$ многочлена будут простыми, так?
а как найти остальные??? или как посчитать приводимые многочлены??


Есть точная формула (через функцию Мебиуса) количества неприводимых многочленов над конечным полем. Хотя, для второй степени можно получить результат и подобными рассуждениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 01:19 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Рассмотрим (единственное с точностью до изоморфизма) поле из $p^2$ элементов.
Все его элементы - это в точности корни неприводимых над $\mathbb{F}_p$ многочленов первой и второй степени. Но корни многочленов первой степени лежат в $\mathbb{F}_p$. Значит, $p^2-p$ элементов являются корнями неприводимых многочленов второй степени. Поскольку у каждого из них по 2 корня получаем $\frac{p(p-1)}2$ неприводимых многочленов второй степени.

Разумеется (как это и принято) ассоциированные многочлены считаются за один. Если же все-таки считать их разными, предыдущий результат надо домножить на $p-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 11:28 


02/01/11
69
Цитата:
Рассмотрим (единственное с точностью до изоморфизма) поле из $p^2$ элементов.
Все его элементы - это в точности корни неприводимых над $\mathbb{F}_p$ многочленов первой и второй степени.

всё-таки не понятно почему элементов будет $p^2$....

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 11:44 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
flame19 в сообщении #403340 писал(а):
Цитата:
Рассмотрим (единственное с точностью до изоморфизма) поле из $p^2$ элементов.
Все его элементы - это в точности корни неприводимых над $\mathbb{F}_p$ многочленов первой и второй степени.

всё-таки не понятно почему элементов будет $p^2$....

Не понял вопроса.
Непонятно, почему в поле из $p^2$ будет $p^2$ элементов?!

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 12:08 


02/01/11
69
вобщем то не понятно откуда взялось такое поле... т.е. понятно что Вы взяли поле состоящее из всех корней многочленов 1 и 2 степени, но почему их будет $p^2$??

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 12:35 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
flame19 в сообщении #403356 писал(а):
вобщем то не понятно откуда взялось такое поле... т.е. понятно что Вы взяли поле состоящее из всех корней многочленов 1 и 2 степени, но почему их будет $p^2$??
Почитайте книжку Лидл, Нидеррайтер "Конечные поля"или мои лекции во по этой ссылочке (лучше скачать полный экземпляр лекций по второй ссылке) . Там все подробно написано. С доказательствами и даже с примерами.

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 12:37 


02/01/11
69
спасибо большое!!))

-- Вс янв 23, 2011 13:13:28 --

почитала Ваши лекции...
в каждом конечном поле число элементов есть натуральная степень некоторого простого числа $p$. у нас дано конечное поле $F_p$. его подполем будет как раз множество многочленов второй степени. т.е. если рассматривать это как векторное пространство над этим подполем, то 2 - это размерность этого пространства, тогда всего элементов подполя (т.е. множества многочленов второй степени) будет $p^2$.
я всё верно поняла???

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 13:15 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
flame19 в сообщении #403356 писал(а):
вобщем то не понятно откуда взялось такое поле... т.е. понятно что Вы взяли поле состоящее из всех корней многочленов 1 и 2 степени, но почему их будет $p^2$??
Ссылочку дал. А здесь отвечу в двух словах (без доказательств).
Здесь логика противоположная. Сначала берем поле из $p^2$ элементов и (о чудо!) они в точности оказываются корнями всех неприводимых над $\mathbb{F}_p$ полиномов 1-й и 2-й степеней.

Впрочем, наверное, можно идти и тем путем, что начинали Вы - с перебора коэффициентов. Если все аккуратно сделать ответ должен получиться тот же.

 Профиль  
                  
 
 Re: кольцо многочленов над полем
Сообщение23.01.2011, 13:34 


02/01/11
69
насчёт перебора коэффициентов непонятно, как посчитать число приводимых многочленов...
и всё же вот это:
Цитата:
в каждом конечном поле число элементов есть натуральная степень некоторого простого числа $p$. у нас дано конечное поле $F_p$. его подполем будет как раз множество многочленов второй степени. т.е. если рассматривать это как векторное пространство над этим подполем, то 2 - это размерность этого пространства, тогда всего элементов подполя (т.е. множества многочленов второй степени) будет $p^2$.

верно или нет?? потому что суть вроде бы ясна, хотя смущает, что подполе содержит больше элементов чем само поле.....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group