Метод Зейделя для плохо обусловленной системы

[caxap]

Xaositect в сообщении #403082 писал(а):

Не, тут проблема не в том, что итераций надо много, а в том, что решение "скачет": небольшие изменения в матрице или векторе $b$ (а у нас неизбежно вылезут машинные погрешности) приводят к большим изменениям в решении.Я из вычметодов уже мало что помню, спросите что ли в мат. разделе что делать если надо решить методом Зейделя плохо обусловленную систему.

Спрашиваю.

В частности, программа не хочет решать специально подобранную систему $Ax=b$ с большим числом обусловленности:

$$A=\left( \begin{array}{cccc} 0.1 & -8. & 9.3 & -8.2 \\ -3.3 & 2.4 & -2.8 & 2.4 \\ -2.6 & 1.9 & -2.2 & 1.9 \\ -1.3 & 9.3 & -1.1 & 9.5 \end{array} \right);\quad b=\left( \begin{array}{c} 1.5 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right);\quad x=\left( \begin{array}{c} -224.85 \\ -12503.7\\ 13.6381 \\ 12211.3 \end{array} \right)$$

хотя с обычными системами она справляется, то есть сама программа работает. Про сам алгоритм подробнее в указанной теме. Изменение начального приближения не помогает: алгоритм начинает сходиться к другому решению, но всё равно неверному.

[ol_mer]

Переобуславливатель какой-нибудь удачный может помочь, но не судите строго

[caxap]

ol_mer в сообщении #403936 писал(а):

Переобуславливатель

что это?

[Tlalok]

Для плохо обусловленных систем есть специальные методы решения. По крайней мере так пишут в литературе. Еще слышал о регуляризации Тихонова.
Метод Зейделя однозначно не подойдет.

[caxap]

Меня интересует, можно ли как-нибудь преобразовать СЛАУ, чтобы уменьшить её число обусловленности (с сохранением решения).

(Например)

Метод Зейделя, вообще говоря, не сходится для произвольной СЛАУ. Но он сходится, если $A$ положительно определена и симметрична. А умножив произвольную СЛАУ $Ax=b$ на $A^{\top}$ слева, получим положительно определённую и симметрическую матрицу коэффициентов; причём, если $Ax=b$ имеет решение, то $A^{\top}Ax=A^{\top}b$ будет иметь ровно его же.

Вот есть ли подобный трюк, чтобы уменьшить обусловленность?

[Tlalok]

У нас в методичке написано, что "...для уменьшения числа обусловленности прибегают к масштабированию уравнений и неизвестных. Но этим не всегда удается добиться желаемого."
Без всякого объяснения что имеется ввиду.
В пакете Matlab есть функция balance, она и осуществляет масштабирование.