2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Метод Зейделя для плохо обусловленной системы
Сообщение22.01.2011, 17:35 
Аватара пользователя
Xaositect в сообщении #403082 писал(а):
Не, тут проблема не в том, что итераций надо много, а в том, что решение "скачет": небольшие изменения в матрице или векторе $b$ (а у нас неизбежно вылезут машинные погрешности) приводят к большим изменениям в решении.Я из вычметодов уже мало что помню, спросите что ли в мат. разделе что делать если надо решить методом Зейделя плохо обусловленную систему.

Спрашиваю.

В частности, программа не хочет решать специально подобранную систему $Ax=b$ с большим числом обусловленности:
$$A=\left(
\begin{array}{cccc}
0.1 & -8. & 9.3 & -8.2 \\
-3.3 & 2.4 & -2.8 & 2.4 \\
-2.6 & 1.9 & -2.2 & 1.9 \\
-1.3 & 9.3 & -1.1 & 9.5
\end{array}
\right);\quad b=\left(
\begin{array}{c}
1.5 \\
2 \\
-1 \\
0
\end{array}
\right);\quad x=\left(
\begin{array}{c}
-224.85 \\
-12503.7\\
13.6381 \\
12211.3
\end{array}
\right)$$
хотя с обычными системами она справляется, то есть сама программа работает. Про сам алгоритм подробнее в указанной теме. Изменение начального приближения не помогает: алгоритм начинает сходиться к другому решению, но всё равно неверному.

 
 
 
 Re: Метод Зейделя для плохо обусловленной системы
Сообщение24.01.2011, 20:10 
Переобуславливатель какой-нибудь удачный может помочь, но не судите строго

 
 
 
 Re: Метод Зейделя для плохо обусловленной системы
Сообщение24.01.2011, 20:17 
Аватара пользователя
ol_mer в сообщении #403936 писал(а):
Переобуславливатель

что это?

 
 
 
 Re: Метод Зейделя для плохо обусловленной системы
Сообщение24.01.2011, 20:35 
Аватара пользователя
Для плохо обусловленных систем есть специальные методы решения. По крайней мере так пишут в литературе. Еще слышал о регуляризации Тихонова.
Метод Зейделя однозначно не подойдет.

 
 
 
 Re: Метод Зейделя для плохо обусловленной системы
Сообщение24.01.2011, 20:52 
Аватара пользователя
Меня интересует, можно ли как-нибудь преобразовать СЛАУ, чтобы уменьшить её число обусловленности (с сохранением решения).

(Например)

Метод Зейделя, вообще говоря, не сходится для произвольной СЛАУ. Но он сходится, если $A$ положительно определена и симметрична. А умножив произвольную СЛАУ $Ax=b$ на $A^{\top}$ слева, получим положительно определённую и симметрическую матрицу коэффициентов; причём, если $Ax=b$ имеет решение, то $A^{\top}Ax=A^{\top}b$ будет иметь ровно его же.

Вот есть ли подобный трюк, чтобы уменьшить обусловленность?

 
 
 
 Re: Метод Зейделя для плохо обусловленной системы
Сообщение24.01.2011, 21:00 
Аватара пользователя
У нас в методичке написано, что "...для уменьшения числа обусловленности прибегают к масштабированию уравнений и неизвестных. Но этим не всегда удается добиться желаемого."
Без всякого объяснения что имеется ввиду.
В пакете Matlab есть функция balance, она и осуществляет масштабирование.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group