Тензоры. Вопросы и задачки

[Munin]

caxap
Типа того.

[caxap]

И если уж жо конца буквоедствовать (до теории категорий никак не доберусь, а впечатляет). Там я записал $\mathbb R^{L^*}$, но ведь это все отображения, а не только линейные. Может вернее будет $\operatorname{hom}_{\mathrm{Lin}}(L^*,\mathbb R)$? Ведь $\mathbb R$ -- тоже лин. простраснтво.

Ещё: я верно понимаю, что линейный функционал (= ковектор) $f:L\to \mathbb R$ -- это фактически линейный оператор из $L$ в $\mathbb R$. Матрица его будет строкой, т. к. $\dim \mathbb R=1$). Эта строка = строка координат ковектора $f$.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Munin
Ну неужели я не мог немного пошутить?

[Padawan]

8. А положительная определенность матрицы? А то получится псевдоевклидово пространство.

[caxap]

Padawan
А, точно! Для $x\neq 0$: $\vec x\cdot \vec x >0 \iff x^\top G x >0$. Спасибо.

[ShMaxG]

Padawan
Да, что-то я и сам на это не обратил внимание, а очень важно

[svv]

сахар, я не знаком с теорией категорий, а по второму абзацу возражений нет.

[Munin]

(Оффтоп)

Joker_vD
Пардон.

[AlexNew]

Зачем нам вводить сопряженное пространсто (иметь ко/контра вариантные индексы)

Может появится соблазн сказать что компоненты преобразуются по другому закону, но
1) мы стараемся избежать координатного описание тензора с помощью набора его компонент. Наверное есть соображения более общего толка???
2) Если все же записать преобразование для векторов и ковекторов в матричном виде, то мы заметим что переход от одной матрицы преобразований компонент к другой можно осуществить транспонированием.
Зачем городить весь этот забор с сопряженным пространством ?

[alcoholist]

caxap в сообщении #403000 писал(а):

$\operatorname{hom}_{\mathrm{Lin}}(L^*,\mathbb R)$

${\rm Hom}_{\mathbb{R}}(L^*,\mathbb{R}})$ это в точности второе сопряженное $L^{**}$

-- Вс янв 23, 2011 03:23:18 --

caxap в сообщении #403000 писал(а):

это фактически линейный оператор из $L$ в $\mathbb R$.

разумеется

caxap в сообщении #403000 писал(а):

Матрица его будет строкой, т. к. $\dim \mathbb R=1$). Эта строка = строка координат ковектора $f$.

о матрице можно говорить только когда выбран некоторый базис в $L^*$

[caxap]

svv в сообщении #403268 писал(а):

а по второму абзацу возражений нет.

Спасибо.

alcoholist в сообщении #403295 писал(а):

${\rm Hom}_{\mathbb{R}}(L^*,\mathbb{R}})$ это в точности второе сопряженное $L^{**}$

${\rm Hom}_{\mathbb{R}}$? Разве внизу должно быть не $\mathbf{Lin}$?

alcoholist в сообщении #403295 писал(а):

о матрице можно говорить только когда выбран некоторый базис в $L^*$

Ну я же о её размерах только говорю, а они от базиса не зависят.

[alcoholist]

caxap в сообщении #403327 писал(а):

${\rm Hom}_{\mathbb{R}}$? Разве внизу должно быть не $\mathbf{Lin}$?

Гомоморфизмы "нелинейными" не бывают. А индекс внизу указывает на основное кольцо (алгебру, поле). Я подразумеваю, что Ваше $L$ -- векторное пространство над $\mathbb{R}$

[caxap]

(alcoholist)

alcoholist в сообщении #403371 писал(а):

Гомоморфизмы "нелинейными" не бывают.

А почему именно гомоморфизмы? Разве $\operatorname{Hom}_{\mathbf C}(A,B)$ -- это не множество всех стрелок в категории $\mathbf C$ между объектами $A$ и $B$? Если $\mathbf C=\mathbf {Set}$, то получаем $A^B$, включающее также и нелинейные отображения. Если следовать той же логике, то в $\mathbf {Lin}$ от стрелок будет требоваться линейность, в $\mathbf {Grp}$ -- сохранение групповой структуры, в $\mathbf {Top}$ -- непрерывность и т. д. Или я не так всё понимаю?
(А $\mathbb R$ -- это вообще категория?)

P. S. Извините за возможный тупизм. Я с ТК имею лишь беглое знакомство по Хелемскому и Маклейну.

[Xaositect]

(Оффтоп)

caxap
Все правильно, но это обозначение в теории категорий появилось как раз из алгебры, где $\mathrm{Hom}(A,B)$ чаще всего используется в линейной алгебре для обозначения мн-ва лин.отображений из одного модуля в другой или гомоморфизмов алгебр. А индексом там часто ставят как раз базовое поле/кольцо

[caxap]

Xaositect
Ааа. Ясно.