Тензоры. Вопросы и задачки

[ShMaxG]

6. Верно.

7. Ну да, а в терминах взаимного базиса $\[{g^{ij}} = {{\text{a}}^i} \cdot {{\text{a}}^j}\]$. Далее можно выразить контравариантный базис в терминах ковариантного, например: $\[{a^1} = \frac{{{{\text{a}}_2} \times {{\text{a}}_3}}} {{\det \left\| {{g_{ij}}} \right\|}}\]$ и т.д.

8. По-моему эти условия достаточны и необходимы. Для любой симметричной невырожденной матрицы можно подобрать основной базис, метрический тензор которого будет совпадать с этой матрицей.

9. Верно.

[svv]

caxap писал(а):

4. Пусть $\pmb A$ -- лин. оператор, действующий в лин. пространстве $\mathcal L$. Найдите компоненты тензора $a_j^i$, соответствующего полилинейной форме $\varphi(\pmb x;\pmb f)=\pmb f(\pmb A\pmb x)$, $\pmb x\in\mathcal L$, $\pmb f\in \mathcal L^*$.

Я не совсем понял, что значит "найти компоненты тензора".

Этот вопрос исчезнет, если принять соответствующие определения. Выше Вы заметили, что в некоторых книгах тензоры отождествляется с набором компонент в базисе. Это нехорошо. А вот отождествлять тензор с полилинейным отображением -- вполне нормально, так часто делается.
Итак, по определению:
1. Тензор $\mathbf A$ типа $(1, 1)$ -- это полилинейное отображение$ L \times L^* \to \mathbb R$.
2. Компонента ${a_i}^k$ этого тензора -- это значение тензора (т.е. отображения) на $i$-м базисном векторе и $k$-м базисном ковекторе: $a_i^k=\mathbf A(\vec e_i, \hat e^k)$.

Поэтому можно сразу написать:
$a^i_j=\varphi(\pmb e_j;\pmb b^i)=c_j^i$

[Munin]

caxap в сообщении #402664 писал(а):

svv в сообщении #402654 писал(а):

Лучше, конечно,

Это понятно. Но во многих учебниках опускают $\pmb e_k\otimes \ldots$ и пишут $\pmb T=T_{ijk}^{lm}$ и говорят, например, "...тензор $a_{ij}$...". Это даже в тех книжках, где тензор определяется не как набор компонент.

Ведь никто же не отождествляет векторы с координатами, лин. операторы с их матрицами и т. д.

Здесь не отождествляются векторы с координатами, а используется нотация "абстрактных индексов", где индексы не подразумевают некоторых компонент в некотором оговорённом базисе, а пишутся просто для удобства обозначения операций между тензорами: произведений, свёрток и т. д. Эту нотацию редко вводят формально и аккуратно, но в некоторых местах можно прочитать, например, у Пенроуза в ряде книг.

[svv]

У Пенроуза и Риндлера приводится яркий пример, когда индексное выражение уже точно не имеет смысла, если придавать индексам конкретные числовые значения. И единственный способ придать этому выражению смысл -- принять идею абстрактных индексов.

Это -- индексная запись ковариантной производной. Хотя $a_{i; k}=(a_i)_{;k}$, мы не можем понимать это так, что $a_{1;2}$ -- это $(a_1)_{;2}$, т.е. нечто, получаемое из $a_1$, поскольку $a_{1;2} $ определяется всеми компонентами $a_i$.

Конечно, физики после знакомства с абстрактными индексами заявляют: "А мы всегда подразумевали что-то в этом роде".

[caxap]

ShMaxG
Спасибо за проверку!

svv в сообщении #402711 писал(а):

Поэтому можно сразу написать:

Понятно.

svv в сообщении #402756 писал(а):

а используется нотация "абстрактных индексов",

А где про это можно почитать?

[Munin]

caxap в сообщении #402801 писал(а):

А где про это можно почитать?

Например, Пенроуз "Структура пространства-времени", гл. 3 "Метод абстрактных индексов".

[Утундрий]

svv в сообщении #402756 писал(а):

У Пенроуза и Риндлера приводится яркий пример, когда индексное выражение уже точно не имеет смысла, если придавать индексам конкретные числовые значения. И единственный способ придать этому выражению смысл -- принять идею абстрактных индексов.

Это -- индексная запись ковариантной производной. Хотя $a_{i; k}=(a_i)_{;k}$, мы не можем понимать это так, что $a_{1;2}$ -- это $(a_1)_{;2}$, т.е. нечто, получаемое из $a_1$, поскольку $a_{1;2} $ определяется всеми компонентами $a_i$.

Есть и другой способ: подставлять численные значения после раскрытия выражения, а не до.

[svv]

А до такого раскрытия (еще не факт, что я захочу его делать) эти самые $i$, $j$, $k$ что означают, если не $1$, $2$, $3$?
Вы сможете ответить на этот вопрос. Думаю, ответ будет вариацией на тему абстрактных индексов.

сахар, а "моя" книга с описанием абстрактных индексов --
Роджер Пенроуз, Вольфганг Риндлер. Спиноры и пространство-время. Том 1. Глава 2 "Метод абстрактных индексов и спинорная алгебра".
(Вы не бойтесь, что "спинорная алгебра", там сначала разбирается в основном тензорная алгебра.) Глава интересна и тем, что устанавливается взаимосвязь между тремя основными определениями тензора. В обычных случаях определения эквивалентны, в менее обычных -- нет.

[Утундрий]

svv в сообщении #402924 писал(а):

Вы сможете ответить на этот вопрос.

Меня вдохновляет Ваша уверенность в моих силах, так что попробую.

Итак, $\[d_x \left( x \right) = 1\]$, откуда $\[\left. {d_x \left( x \right)} \right|_{x = 1} = 1\]$. Но в то же время $\[d_1 \left( 1 \right) \ne 1\]$! Ай-ай-ай, какая трагедия... нужно переходить к абстрактным индексам!

[svv]

Ну вот видите -- образцово смогли увидеть трагедию в нужном месте. Я не сомневался в Вас.

[Утундрий]

Ну, в общем, это был сарказм. Просто не надо так делать, как в этом анекдотичном примере и все будет сполне себе непротиворечивненько и без умножения сущностей...

[svv]

Утундрий, и все же. В 4 классе $x$ означает "неизвестная величина". В 7 классе $x$ -- еще и "любое число", или "некоторая величина, одна и та же в пределах задачи". В 10-м классе -- еще и немая переменная (а что это такое?) в определенном интеграле. Это я множу сущности?

Это не составляет проблемы до тех пор, пока Вы совершаете над этим хорошо усвоенные действия и не задумыватесь об основаниях и обоснованиях.

P.S. Вы говорите: "Так делать нельзя".

Я говорю: "Я хочу понять принцип, из которого получается, как делать можно и как -- нельзя".

[Joker_vD]

Видите ли, в математике используется позиционная система записи. Например, пятерка в "512" значит "пятьсот", а в "152" она же значит "пятьдесят", а в "565" первая пятерка значит "пятьсот", а вторая — "пять". Это разные пятерки, хоть и выглядят одинаков.
Тот же принцип используется и вообще во всех рабочих записях, и индекс внизу может быть $x$, и аргумент может быть $x$, но это совсем разные иксы, и они не смешиваются.

[Munin]

Joker_vD в сообщении #402945 писал(а):

Тот же принцип используется и вообще во всех рабочих записях, и индекс внизу может быть $x$, и аргумент может быть $x$, но это совсем разные иксы, и они не смешиваются.

И что, это называется позиционная система записи???

[caxap]

svv в сообщении #402711 писал(а):

1. Тензор $\mathbf A$ типа $(1, 1)$ -- это полилинейное отображение$ L \times L^* \to \mathbb R$.

Я правильно понимаю, что $\boldsymbol A:L\times L^*\to \mathbb R\overset{\mathrm{curry}}\simeq L\to \mathbb R^{L^*}\simeq L\to L^{**}\simeq L\to L$

(По обозначениям)

Изоморфность это $\cong$ или $\simeq$?

Munin, svv
По абстрактным индексам: я правильно понимаю, что если есть тензор $\boldsymbol T$ типа $(3,2)$, то его можно записать как $\boldsymbol T_{ijk}^{lm}$. И эти символы служат лишь для указания его типа и удобной работы. А массив компонент $(T_{ijk}^{lm})$ -- это уже другое; типа многомерная матрица, адресуемая числами $i,j,k,l,m$? Если я вижу "тензор $g_{ij}$", то я должен это понимать как "тензор $g$ типа $(2,0)$" = "полилинейная форма $g(\cdot,\cdot)$ от двух аргументов из $L$".