Задачка по теории игр.

[Yuri Gendelman]

незваный гость писал(а):

По-моему, дуэль на троих ...
Еще один пример: шахматы (игры с полной информацией).

Вы правы. Теория игр в широком смысле изучает принятие решений в условиях конфликта сторон. И оба Ваших примера этому условию соответствуют. С шахматами просто - это пример многошаговой позиционной игры. Для дуэли на троих стандартную модель я не подберу. Возможно ее и нет, и задача решается без применения специальных теоретико-игровых методов. Т.е. в этом смысле можно отдельно рассматривать еще и теорию игр в узком смысле как специальный раздел математики. [Первоначально теория игр возникла как теория решения минимаксных задач.]

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

С шахматами просто - это пример многошаговой позиционной игры.

Да, шахматам на уделили целый семнар. Шахматы - это антагонистическая многошаговая игра с полной информацией. Игроки применяют решение многократно., поочередно. причем все шаги игрока 1 до шага игры игрока 2 известны. Математическая модель - антагонистическая игр с полной информацией. Игроки принимют решение полноинформационно. Функция Н(х1,х2,...хn)-функция выигрыша игрока 1(и.1). xi принадлежит X (i=1...n).
И.1 определяет функцию выигрыша для n=нечетное число. И. 2 определяет функцию выигрыша для n=четное число.
функцию выигрыша принимает 3 значения в зависимости от того какой игрок выиграл или была ничья.
далее подводим под определение седловой точки....

Еще был сделан такой вывод, что оптимальной стратегии игры в шахматы так и не придумали еще, так как иначе в них было бы не интересно играть.

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

Да, шахматам на уделили целый семнар. Шахматы - это антагонистическая многошаговая игра ...

Чувствуется огромный сдвиг. С Вами уже можно играть

antoshka1303 писал(а):

Еще был сделан такой вывод, что оптимальной стратегии игры в шахматы так и не придумали еще, так как иначе в них было бы не интересно играть.

Что-то тут я не понял. Оптимальной стратегии игры в шахматы не стали придумывать, чтобы в них было по-прежнему интересно играть?
Это шутка, не обижайтесь. Кроме того, боюсь, что даже если такую оптимальную стратегию придумают, запомнить и применить ее нормальный человек не сможет.

[Macavity]

незваный гость писал(а):

:evil:

Macavity писал(а):

В Вашем случае есть разница между А и Б.

А что, теория игр изучает только симметричные игры?

Боже сохрани, никогда так не думал...

незваный гость писал(а):

:evil:
Под сводимостью я имел в виду не столько переход к данной задаче, сколько переход от проигрыша к выигрышу.

Ну вот, а я думал Вы имеете ввиду аналогичность. Тогда все понятно.

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

Это шутка, не обижайтесь. Кроме того, боюсь, что даже если такую оптимальную стратегию придумают, запомнить и применить ее нормальный человек не сможет.

но существуют же компьютеры, которые играют с человеком в шахматы.

Добавлено спустя 32 минуты 22 секунды:

Вернемся к моей задаче.
рассматриваем игру

\[ \Gamma = \left( {X,Y,F} \right) \]

Стратегии игроков совпадают

\[ X = Y = \{ 0,1,2,...n\} \]

где i-я(j-я) стратегия игрока 1(2) - это пометить i(j) карт
Строим функцию выигрыша для игрока 1.

\[ F(i,j,\theta _1 ,\theta _2 ) \]

, где i- число меченных карт игрока 1. j- число меченных карт игрока 2.
Про

\[ \theta _1 ,\theta _2 \]

. Это случайные величины.
Пусть

\[ \begin{array}{l} \theta _1 \in \{ 1,2\} \\ \theta _2 \in \{ 1,2\} \\ \end{array} \]

, единица соответствует выпавшей меченой карте, 2ка соответствует выпавшей немеченой карте.
Причем

\[ P\left( {\theta _1 = 1} \right) = \frac{i}{n};P\left( {\theta _1 = 2} \right) = 1 - \frac{i}{n};P\left( {\theta _2 = 1} \right) = \frac{j}{n};P\left( {\theta _2 = 2} \right) = 1 - \frac{j}{n} \]

Таким образом, можно составить формулу для вычисления функци F...
Теперь мнеподсказали, что нужно далее рассматривать поиск элеменов матрицы игры через математическое ожидание.

\[ a_{ij} = EF(i,j,\theta _1 ,\theta _2 ) \]

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

но существуют же компьютеры, которые играют с человеком в шахматы.

Они используют стратегию, оптимальность которой в смысле теории игр даже не рассматривается. И для человека эта стратегия не приспособлена. Так что интереса к игре она пока не снижает, во всяком случае для любителей.[/quote]

antoshka1303 писал(а):

Вернемся к моей задаче.

1. Множества стратегий игроков не совпадают, а одинаковы (изоморфны). См. определение игры: функция выигрыша и два множества стратегий.
2. Функция выигрыша по определению это функция только стратегий 2х игроков. Никаких "тет" там быть не должно. Вы записали выигрыш в одной партии.
3. Да, эта функция определяется через математическое ожидание от выигрыша в одной партии. При этом "теты" устраняются. Здесь нужно применить элементарную теорию вероятностей.

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

antoshka1303 писал(а):

Вернемся к моей задаче.

1. Множества стратегий игроков не совпадают, а одинаковы (изоморфны). См. определение игры: функция выигрыша и два множества стратегий.

согласен.

Yuri Gendelman писал(а):

2. Функция выигрыша по определению это функция только стратегий 2х игроков. Никаких "тет" там быть не должно. Вы записали выигрыш в одной партии.

Мне преподаватель посоветовал использовать данный вид функции F
"тетты" это случайные величины, которвые влияют на значение функции F, то есть

\[ F = F\left( {i,j,\theta _1 \left( i \right),\theta _2 \left( j \right)} \right); \]

При фиксированном i,j определяется закон распределения "тет".

\[ \begin{array}{l} P\left( {\theta _1 = 1} \right) = \frac{i}{n}; \\ P\left( {\theta _1 = 2} \right) = 1 - \frac{i}{n}; \\ P\left( {\theta _2 = 1} \right) = \frac{j}{n}; \\ P\left( {\theta _2 = 2} \right) = 1 - \frac{j}{n} \\ \end{array} \]

Четверка аргументов функции F однозначно задают ее значения.

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

2. Функция выигрыша по определению это функция только стратегий 2х игроков. Никаких "тет" там быть не должно. Вы записали выигрыш в одной партии.

Мне преподаватель посоветовал использовать данный вид функции F ... Четверка аргументов функции F однозначно задают ее значения.

Прочтите еще раз определение 1.1 (стр.9) в Вашем учебнике.
То, что Вам посоветовал преподаватель - это функция выигрыша в одной партии. А функция игры определяется через ее математическое ожидание.

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

То, что Вам посоветовал преподаватель - это функция выигрыша в одной партии. А функция игры определяется через ее математическое ожидание.

вот и элементы матрицы ишры как раз будут равны мат ожиданию от функции выигрыша в каждой партии...

[незваный гость]

Правильно. Осталось его подсчитать, и получите матрицу.

Мне, кстати, чисто технически показалось нагляднее представить ее как сумму двух матриц (результат при условии, что меченных карт меньше двух и результат, когда обе мечены).

[antoshka1303]

незваный гость писал(а):

:evil:
Правильно. Осталось его подсчитать, и получите матрицу.

Трудность с составлением реккурентной формулы возникает....

[незваный гость]

А у Вас нет реккурентности. Есть стратегии, примененные игроками. Есть случайное событие — выбор по одной карты из колоды. Дальше нужно подсчитать вероятности исходов и мат.ожидание выигрыша.

[antoshka1303]

незваный гость писал(а):

:evil:
А у Вас нет реккурентности. Есть стратегии, примененные игроками. Есть случайное событие — выбор по одной карты из колоды. Дальше нужно подсчитать вероятности исходов и мат.ожидание выигрыша.

то есть. что-то вида суммасуммаF(i,j,тета1,тетта2)P(тетта1=i)(тетта1=j)=...
первая сумма по i, вторая-по j

[Yuri Gendelman]

antoshka1303 писал(а):

незваный гость писал(а):

:evil:
А у Вас нет реккурентности. Есть стратегии, примененные игроками. Есть случайное событие — выбор по одной карты из колоды. Дальше нужно подсчитать вероятности исходов и мат.ожидание выигрыша.

то есть. что-то вида суммасуммаF(i,j,тета1,тетта2)P(тетта1=i)(тетта1=j)=...
первая сумма по i, вторая-по j

Если Вы будете суммировать функцию от 4 переменных $F(i,j,\theta 1,\theta 2)$ по всем значениям i и j, то функцией от каких переменных будет сумма? Это то, что Вам нужно для описания игры?

[antoshka1303]

Yuri Gendelman писал(а):

antoshka1303 писал(а):

незваный гость писал(а):

:evil:
А у Вас нет реккурентности. Есть стратегии, примененные игроками. Есть случайное событие — выбор по одной карты из колоды. Дальше нужно подсчитать вероятности исходов и мат.ожидание выигрыша.

то есть. что-то вида суммасуммаF(i,j,тета1,тетта2)P(тетта1=i)(тетта1=j)=...
первая сумма по i, вторая-по j

Если Вы будете суммировать функцию от 4 переменных $F(i,j,\theta 1,\theta 2)$ по всем значениям i и j, то функцией от каких переменных будет сумма? Это то, что Вам нужно для описания игры?

\[ \begin{array}{l} a_{ij} = EF\left( {\xi ,\eta ,\theta _1 ,\theta _2 } \right) = \\ = \sum\limits_{i = 0}^n {} \sum\limits_{j = 0}^n {} \sum\limits_{k = 1}^2 {} \sum\limits_{l = 1}^2 {F\left( {\xi ,\eta ,\theta _1 ,\theta _2 } \right)P\left( {\xi = i,\eta = j,\theta _1 = k,\theta _2 = l} \right)} . \\ \end{array} \]