Интеграл и производная

[Gortaur]

Пусть есть положительная функция $g(t)$ такая, что $\int\limits_{\mathbb{R}}g(t)\,dt = 1$. Пусть теперь задана непрерывная, липшицева $f(t)$ и

$$ F(y) = \int\limits_{f(t)<y}g(t)\,dt. $$

Какие бы наложить достаточные условия на $f(t)$ чтобы $F(y)$ не была постоянной ни на каком интервале. Менее заковыристо - чтобы $F'(y) = 0$ выполнялось лишь на множестве меры нуль. Кроме строгой монотонности $f$ есть какие-нибудь другие предложения?

[Dan B-Yallay]

А такая функция $f$ вообще существует ли?

[Gortaur]

Которая, та при какой будет нулевая производная? Ну взять функцию, которая константа. Эквивалентная формулировка - при каких условиях мера прообразов $\{t:f(t)<y\}$ строго возрастает.

-- Пт янв 21, 2011 21:46:45 --

Понял! похоже для непрерывных необходимо и достаточно чтобы $f(t)$ была неограничена.

[Dan B-Yallay]

Проблема в другом: пусть $f(0) =1 \in \mathbb R$. В силу непрерывности, существует интервал $(-\varepsilon, \varepsilon)$ где значение $f$
- положительно. Берем интервал $y \in (-\varepsilon,0)$ На нем $F(y)$ будет константой. Правильно?

[Gortaur]

Че-то я не пойму, мы в пределах интегрирования сравниваем $f(t)<y$. У Вас $f(0) = 1$, при чем тут интервал $(\varepsilon,0)$?

[Dan B-Yallay]

Посмотрите, меняется ли множество $\{t: f(t)<y\}$ для $y \in (-\varepsilon,0)$

[Gortaur]

Это зависит от того, принимает ли $f(t)$ отрицательные значения. Пример $f(t) = t+1$. Ваш эпсилон допусти $0.9$. Очевидно, что множество $\{t:t+1<y\}$ меняется. Нет?

[Dan B-Yallay]

Надо подумать

[Gortaur]

Я уже написал. Кстати, $t+1$ очень даже положительна на $(-0.9,0.9)$

[Dan B-Yallay]

Я понял что сморозил...

[Gortaur]

Отлично, значит можно дальше. Как насчет неограниченной функции?

[Dan B-Yallay]

Ну в силу моих же предыдущих доводов $f$ должна быть неограничена.
То есть если она ограничена (с любой стороны), то найдется интервал, где $\{t: f(t)<y\}$ не изменяется.

Если $f$ неограничена снизу, то $F(y)=\displaystyle\int_{f(t)<y}g(t)dt$ не что иное как $F(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^y g(t)dt}$ . Тогда
$F'(y)= g(y)$ а она у вас положительна.

ЗЫ Я сегодня "в ударе" и мог опять ляпнуть ...

[Gortaur]

Ага, ляп детектед. Лихо Вы пределы интегрирования поменяли.

[Dan B-Yallay]

Насчет пределов интегрирования поясните... Уже понял.

-- Пт янв 21, 2011 13:25:00 --

Пока что в виде идеи (то есть можно опять искать ляпы):

Пусть $f$ обратима: $f(t)=y, \ y=\phi(t)$

$F(y)=\displaystyle\int_{f(t)<y}g(t)dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{\phi(y)}g(t)dt$

$F'(y)=g(\phi(y))\phi '(y)$...

[Gortaur]

Ляпов вроде нету, но давайте честно. Я же просил монотоннве не предлагать. Как насчет просто непрерывных и неограниченных.