Интеграл и производная

[Gortaur]

Монотонные просил не предлагать в смысле был трезв, но писал с телефона. Обратимая должна быть монотонной, так что для нее это конечно выполнено. Но по-моему, монотонность не нужна.

[Gortaur]

Можно наверное так - возьмем $y'>y$. Тогда т.к. $f$ непрерывна и неограничена, есть $t:f(t) = y$ и $t':f(t') = y'$. Кроме того, так как $f$ непрерывна, то $\{t:f(t)<y\}$ открыт и $\{t:f(t)\leq\frac{y+y'}{2}\}$ замкнут, значит

$$ A=\{t:f(t)<y'\}\setminus \{t:f(t)\leq\frac{y+y'}{2}\} $$

также открыт. Кроме того, он непуст, т.к. непрерывная $f$ принимает все значения из $(y,y')$. Значит мера данного множества $A$ больше нуля - поэтому

$$ F(y')\geq F(y) + \int\limits_A g(t)\,dt>F(y) $$

так как $g$ положительна.