Свёртка в математическом анализе.

[Yrogirg]

Вот есть стандартное определение свёртки $h(x) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x-x')\, f(x') \, d x'$

Функции $f(x), \; h(x), \; g(x)$ можно рассматривать как векторы одного линейного пространства.

И теперь вопрос, можно ли поставить в соответсвие операции свёртки некий тензор типа (1, 1) на этом самом пространстве? Если да, то где про это почитать и как определить этот тензор инвариантным образом?

[ewert]

Yrogirg в сообщении #401525 писал(а):

можно ли поставить в соответсвие операции свёртки некий тензор типа (1, 1) на этом самом пространстве?

нельзя, поскольку нет естественного базиса, а без базисов -- какой уж там тензор

[zhoraster]

Хм, а чем плох тензор без базиса?

Как по мне, тут налицо билинейная форма -- чем не тензор? Впрочем, "тензор" -- это только слово.

[ewert]

А что такое "тензор"?...

-- уж всяко не "билинейная форма" (ну или хотя бы полуторалинейная). Когда речь о бесконечномерных пространствах.

[Yrogirg]

ewert в сообщении #401602 писал(а):

Yrogirg в сообщении #401525 писал(а):

можно ли поставить в соответсвие операции свёртки некий тензор типа (1, 1) на этом самом пространстве?

нельзя, поскольку нет естественного базиса, а без базисов -- какой уж там тензор

Более чем туманная аргументация. Зачем для введения тензора нужен базис?

[ewert]

Что такое тензор?...

(только не надо говорить, что это стремительный домкрат, это-то я знаю)

[Padawan]

ewert
Элемент тензорного произведения.

Да это тензор.

[ewert]

Padawan в сообщении #401762 писал(а):

Элемент тензорного произведения.

Вообще-то нет. Но допустим. А что такое тензорное произведение?...

[Yrogirg]

я пока приостановлю свой вопрос.

[Padawan]

ewert в сообщении #401803 писал(а):

Padawan в сообщении #401762 писал(а):

Элемент тензорного произведения.

Вообще-то нет. Но допустим. А что такое тензорное произведение?...

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/5524

[Munin]

Класс. Не думал, что доживу. ewert не знает, что такое тензор.

[ewert]

Padawan в сообщении #401848 писал(а):

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/5524

Вот спасибо-то. А где там свёртка?...

[Padawan]

Padawan в сообщении #401762 писал(а):

Да это тензор.

Признаю свою ошибку. Обычное тензорное произведение не подходит, так как $V\otimes V^*\otimes V^*$ cодержит только конечномерные билинейные операторы $V\times V\to V$, а свёртка такой не является. Может тогда подойдет какое-нибудь топологическое тензорное произведение?
ewert
Оператор свёртки является компактным?

[ewert]

Padawan в сообщении #401894 писал(а):

Оператор свёртки является компактным?

Откуда я знаю. В каком пространстве-то?...

[Padawan]

В $L^1(\mathbb R)$, допустим.