Вот Вам еще контрпример: теорема Штольца. Не представляю, как её без

доказать.
Напомню, что окрестностью

предлагается считать всякий интервал

, для которого

, а окрестностью

--- интервал

.
Лемма 1. Если

--- окрестность и

для положительных

, то

.
Доказательство. Пусть

. Тогда

. При

аналогично

.
Следствие. Пусть

. Тогда для любой окрестности

точки

существует

, для которого

при всех

.
Пусть теперь

и последовательности

--- такие, как в условии теоремы Штольца. Пусть

--- произвольная окрестность

. Выберем окрестность нуля

и окрестность

точки

такие, что

. Имеем

Выберем

, для которого второе слагаемое попадает в

при всех

. Для этого

первое слагаемое попадает в

при всех достаточно больших

.