Базовые определения в курсе матана

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #400603 писал(а):

Вот Вам еще контрпример: теорема Штольца. Не представляю, как её без $\varepsilon-\delta$ доказать.

Напомню, что окрестностью $a \in \mathbb{R}$ предлагается считать всякий интервал $(b,c)$, для которого $b < a < c$, а окрестностью $+\infty$ --- интервал $(b,+\infty)$.

Лемма 1. Если $U$ --- окрестность и $x/y, x'/y' \in U$ для положительных $y,y'$, то $(x + x')/(y + y') \in U$.

Доказательство. Пусть $U = (b,c)$. Тогда $(x + x')/(y + y') - b = (x - by + x' - by')/(y + y') > 0$. При $c < +\infty$ аналогично $c - (x + x')/(y + y') > 0$. $\qed$

Следствие. Пусть $\lim_n (x_{n+1} - x_n)/(y_{n+1} - y_n) = a$. Тогда для любой окрестности $U$ точки $a$ существует $N$, для которого $(x_n - x_N)/(y_n - y_N) \in U$ при всех $n > N$.

Пусть теперь $\lim_n (x_{n+1} - x_n)/(y_{n+1} - y_n) = a$ и последовательности $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}, \{ y_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ --- такие, как в условии теоремы Штольца. Пусть $U$ --- произвольная окрестность $a$. Выберем окрестность нуля $V$ и окрестность $U'$ точки $a$ такие, что $U \supseteq U' + V$. Имеем

$$ \frac{x_n}{y_n} = \left( \frac{x_N - ay_N}{y_n} + a \right) + \left(1 - \frac{y_N}{y_n} \right) \left( \frac{x_n - x_N}{y_n - y_N} - a \right) $$

Выберем $N$, для которого второе слагаемое попадает в $V$ при всех $n > N$. Для этого $N$ первое слагаемое попадает в $U'$ при всех достаточно больших $n$.

[ewert]

А вот как надо было доказывать. Обозначим $\alpha_k\equiv a_k-a_{k-1},\ \alpha_0\equiv a_0$ и, соответственно, $\beta_k\equiv b_k-b_{k-1},\ \beta_0\equiv b_0$. Тогда $a_n=\sum_{k=0}^n\alpha_k$ и $b_n=\sum_{k=0}^n\beta_k$. Утверждение теоремы сводится к следующему: если $\beta_k$ положительны (начиная с некоторого номера) и $\sum_{k=0}^n\beta_k\to+\infty$ при $n\to\infty$, то из $\alpha_n\beta_n^{-1}\to c$ следует $\sum_{k=0}^n\alpha_k\cdot\left(\sum_{k=0}^n\beta_k\right)^{-1}\to c$.

В такой постановке утверждение уже практически очевидно. Поскольку полная сумма уходит на бесконечность, любые начальные участки сумм не играют существенной роли. А поскольку на далёких участках $\alpha_k$ и $\beta_k$ примерно пропорциональны -- это же относится и к их суммам. И эти соображения очень легко и, главное, совершенно очевидным образом формализуются.

[Профессор Снэйп]

Что-то длинная чересчур формализация получается. Стандартным способом короче.

[ewert]

Да?... Собственно доказательство.

По любому $\varepsilon>0$ выберем сначала $m$ так, чтобы при всех $n>m$ было $\beta_n>0$ и при этом

$\left|\frac{\alpha_n}{\beta_n}-c\right|<\frac{\varepsilon}{3}\quad\Leftrightarrow\quad (c-\frac{\varepsilon}{3})\beta_n<\alpha_n<(c+\frac{\varepsilon}{3})\beta_n\qquad(1)$

(это возможно, т.к. $\frac{\alpha_n}{\beta_n}\to c$). Далее, выбираем $N>m$ так, чтобы при всех $n>N$ выполнялось

$\big|\sum_{k=0}^m\alpha_k\big|<\frac{\varepsilon}{3}\sum_{k=0}^n\beta_k,\qquad\left|(c\pm\frac{\varepsilon}{3})\sum_{k=0}^m\beta_k\right|<\frac{\varepsilon}{3}\sum_{k=0}^n\beta_k,\qquad(2)$

(можно, т.к. левые части этих неравенств фиксированы, правые же уходят на бесконечность с ростом $n$). Из (1) следует, что

$(c-\frac{\varepsilon}{3})\sum\limits_{k=m+1}^n\beta_k<\sum\limits_{k=m+1}^n\alpha_k<(c+\frac{\varepsilon}{3})\sum\limits_{k=m+1}^n\beta_k,$

что в сочетании с (2) даёт

$(c-{\varepsilon})\sum\limits_{k=0}^n\beta_k<\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k<(c+{\varepsilon})\sum\limits_{k=0}^n\beta_k.$

Итого: по любому $\varepsilon>0$ найдётся такое $N$, что при всех $n>N$ выполнено $\left|\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k\cdot\left(\sum\limits_{k=0}^n\beta_k\right)^{-1}-c\right|<\varepsilon$, ч.т.д.

Это не длиннее, чем у Фихтенгольца, но зато сознательно. Никаких трюкачеств, все шаги фактически вынужденны.