Дюжина дюжин делителей

[Xenia1996]

Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно 144 попарно различных натуральных делителя, включая 10 последовательных натуральных чисел.

И вновь я не нашла ничего более умного, чем перебор.
Если число делится на какие-нибудь 10 последовательных натуральных чисел, оно должно делиться на 8, на 9, на 5 и на 7 (стало быть, на 2520).
Само число 2520=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7 имеет 4*3*2*2=48 делителей.
Если умножить 2520 на 2, то будет уже 5*3*2*2=60 делителей.
Если умножить 2520 на 3, то будет уже 4*4*2*2=64 делителя.
Если умножить 2520 на 4, то будет уже 6*3*2*2=72 делителя.

Вот так, перебрав все кратные 2520 до 2520*44, я нашла то, что требовалось в задаче, а именно 110880 (кстати, если в условии задачи убрать слова "включая 10 последовательных натуральных чисел", что изменится?).

Предлагаю желающим найти красивое решение (без перебора).

[Tlalok]

а делители должны быть различными?
Если да, то Ваше решение не верно.

[Xenia1996]

Tlalok в сообщении #400754 писал(а):

Делители должны быть РАЗЛИЧНЫМИ?

А я не написала разве?
Для особо придирчивых добавила слово "попарно".

[Tlalok]

Попарно различные - это когда нет двух равных?

-- Вс янв 16, 2011 17:02:57 --

Ясно. Тогда у меня есть вариант. Перемножить числа от 1 до 10. Получим первое условие. А дальше можно применить алгоритм для нахождения простых чисел "Решето Эратосфена" для чисел от 1 до 144. Немного его модифицировав.

От 1 до 10 можно не перемножать. Сейчас закончу и выдам ответ.

[Tlalok]

Мой ответ - произведение чисел от 73 до 144 включительно.

[Xenia1996]

Tlalok в сообщении #400794 писал(а):

Мой ответ - произведение чисел от 73 до 144 включительно.

Не-а!
$144!/72!>10^{145}>110880$
То бишь, даже если это число и имеет ровно 144 попарно различных натуральных делителя (хотя это не так), оно всё равно не наименьшее из возможных.
Среди чисел от 73 до 144 ровно 14 простых, а значит, делителей будет не менее $2^{14}=16384>144$

[Tlalok]

приведите мне $144$ попарно различных делителя числа $110880$
Смею Вас уверить оно имеет РОВНО 144 различных натуральных делителя.
Оно делится без остатка на все натуральные число от 1 до 144 включительно.

[VAL]

Tlalok в сообщении #400794 писал(а):

Мой ответ - произведение чисел от 73 до 144 включительно.

А Вы твердо уверены, что результат будет меньше, чем 110880?

-- 16 янв 2011, 19:16 --

Tlalok в сообщении #400800 писал(а):

приведите мне $144$ попарно различных делителя числа $110880$

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 32, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 77, 80, 84, 88, 90, 96, 99, 105, 110, 112, 120, 126, 132, 140, 144, 154, 160, 165, 168, 176, 180, 198, 210, 220, 224, 231, 240, 252, 264, 280, 288, 308, 315, 330, 336, 352, 360, 385, 396, 420, 440, 462, 480, 495, 504, 528, 560, 616, 630, 660, 672, 693, 720, 770, 792, 840, 880, 924, 990, 1008, 1056, 1120, 1155, 1232, 1260, 1320, 1386, 1440, 1540, 1584, 1680, 1760, 1848, 1980, 2016, 2310, 2464, 2520, 2640, 2772, 3080, 3168, 3360, 3465, 3696, 3960, 4620, 5040, 5280, 5544, 6160, 6930, 7392, 7920, 9240, 10080, 11088, 12320, 13860, 15840, 18480, 22176, 27720, 36960, 55440, 110880}

[Tlalok]

Mea culpa. Я почему-то зациклился на произведении всех числе от 1 до 144.

[VAL]

Xenia1996 в сообщении #400743 писал(а):

Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно 144 попарно различных натуральных делителя, включая 10 последовательных натуральных чисел.

И вновь я не нашла ничего более умного, чем перебор.
Если число делится на какие-нибудь 10 последовательных натуральных чисел, оно должно делиться на 8, на 9, на 5 и на 7 (стало быть, на 2520).
Само число 2520=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7 имеет 4*3*2*2=48 делителей.
Если умножить 2520 на 2, то будет уже 5*3*2*2=60 делителей.
Если умножить 2520 на 3, то будет уже 4*4*2*2=64 делителя.
Если умножить 2520 на 4, то будет уже 6*3*2*2=72 делителя.

Вот так, перебрав все кратные 2520 до 2520*44, я нашла то, что требовалось в задаче, а именно 110880 (кстати, если в условии задачи убрать слова "включая 10 последовательных натуральных чисел", что изменится?).

Предлагаю желающим найти красивое решение (без перебора).

Оно же фактически приведено. Начало то же.
Далее, имеем: $\tau(2520)=\tau(2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7)=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48$.
Очевидно, что для утроения $\tau$ достаточно умножить 2520, на учетверенное простое число взаимно простое с 2,3,5,7. Наименьшим таким числом будет 44.
Альтернативные возможности утроения числа делителей:
1. Вместо учетверенного простого числа взять упятеренное. Полагаю, что в этом случае результат будет больше :)
2. Умножить 2520 на квадрат простого числа, взаимно простого с 2,3,5,7. Проигрывает, поскольку 121 > 44.
3. Увеличить показатели имеющихся простых множителей 2520. Здесь наименьший подходящий множитель 60. Он тоже больше 44.

В общем, тоже некий перебор. Но не подряд :)

[Xenia1996]

VAL в сообщении #400821 писал(а):

В общем, тоже некий перебор. Но не подряд :)

(Спасибо! "Плюс" Вам поставить здесь не имею возможности, но поставлю на Есайенсине.)