2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дюжина дюжин делителей
Сообщение16.01.2011, 17:37 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно 144 попарно различных натуральных делителя, включая 10 последовательных натуральных чисел.

И вновь я не нашла ничего более умного, чем перебор.
Если число делится на какие-нибудь 10 последовательных натуральных чисел, оно должно делиться на 8, на 9, на 5 и на 7 (стало быть, на 2520).
Само число 2520=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7 имеет 4*3*2*2=48 делителей.
Если умножить 2520 на 2, то будет уже 5*3*2*2=60 делителей.
Если умножить 2520 на 3, то будет уже 4*4*2*2=64 делителя.
Если умножить 2520 на 4, то будет уже 6*3*2*2=72 делителя.

Вот так, перебрав все кратные 2520 до 2520*44, я нашла то, что требовалось в задаче, а именно 110880 (кстати, если в условии задачи убрать слова "включая 10 последовательных натуральных чисел", что изменится?).

Предлагаю желающим найти красивое решение (без перебора).

 Профиль  
                  
 
 Re: Дюжина дюжин делителей
Сообщение16.01.2011, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/03/10
595
Одесса, Украина
а делители должны быть различными?
Если да, то Ваше решение не верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дюжина дюжин делителей
Сообщение16.01.2011, 17:51 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Tlalok в сообщении #400754 писал(а):
Делители должны быть РАЗЛИЧНЫМИ?

А я не написала разве? :oops:
Для особо придирчивых добавила слово "попарно".

 Профиль  
                  
 
 Re: Дюжина дюжин делителей
Сообщение16.01.2011, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/03/10
595
Одесса, Украина
Попарно различные - это когда нет двух равных?

-- Вс янв 16, 2011 17:02:57 --

Ясно. Тогда у меня есть вариант. Перемножить числа от 1 до 10. Получим первое условие. А дальше можно применить алгоритм для нахождения простых чисел "Решето Эратосфена" для чисел от 1 до 144. Немного его модифицировав.

От 1 до 10 можно не перемножать. Сейчас закончу и выдам ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дюжина дюжин делителей
Сообщение16.01.2011, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/03/10
595
Одесса, Украина
Мой ответ - произведение чисел от 73 до 144 включительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дюжина дюжин делителей
Сообщение16.01.2011, 19:07 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Tlalok в сообщении #400794 писал(а):
Мой ответ - произведение чисел от 73 до 144 включительно.

Не-а!
$144!/72!>10^{145}>110880$
То бишь, даже если это число и имеет ровно 144 попарно различных натуральных делителя (хотя это не так), оно всё равно не наименьшее из возможных.
Среди чисел от 73 до 144 ровно 14 простых, а значит, делителей будет не менее $2^{14}=16384>144$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дюжина дюжин делителей
Сообщение16.01.2011, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/03/10
595
Одесса, Украина
приведите мне $144$ попарно различных делителя числа $110880$
Смею Вас уверить оно имеет РОВНО 144 различных натуральных делителя.
Оно делится без остатка на все натуральные число от 1 до 144 включительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дюжина дюжин делителей
Сообщение16.01.2011, 19:15 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Tlalok в сообщении #400794 писал(а):
Мой ответ - произведение чисел от 73 до 144 включительно.

А Вы твердо уверены, что результат будет меньше, чем 110880?

-- 16 янв 2011, 19:16 --

Tlalok в сообщении #400800 писал(а):
приведите мне $144$ попарно различных делителя числа $110880$
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 32, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 77, 80, 84, 88, 90, 96, 99, 105, 110, 112, 120, 126, 132, 140, 144, 154, 160, 165, 168, 176, 180, 198, 210, 220, 224, 231, 240, 252, 264, 280, 288, 308, 315, 330, 336, 352, 360, 385, 396, 420, 440, 462, 480, 495, 504, 528, 560, 616, 630, 660, 672, 693, 720, 770, 792, 840, 880, 924, 990, 1008, 1056, 1120, 1155, 1232, 1260, 1320, 1386, 1440, 1540, 1584, 1680, 1760, 1848, 1980, 2016, 2310, 2464, 2520, 2640, 2772, 3080, 3168, 3360, 3465, 3696, 3960, 4620, 5040, 5280, 5544, 6160, 6930, 7392, 7920, 9240, 10080, 11088, 12320, 13860, 15840, 18480, 22176, 27720, 36960, 55440, 110880}

 Профиль  
                  
 
 Re: Дюжина дюжин делителей
Сообщение16.01.2011, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/03/10
595
Одесса, Украина
Mea culpa. Я почему-то зациклился на произведении всех числе от 1 до 144.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дюжина дюжин делителей
Сообщение16.01.2011, 19:47 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Xenia1996 в сообщении #400743 писал(а):
Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно 144 попарно различных натуральных делителя, включая 10 последовательных натуральных чисел.

И вновь я не нашла ничего более умного, чем перебор.
Если число делится на какие-нибудь 10 последовательных натуральных чисел, оно должно делиться на 8, на 9, на 5 и на 7 (стало быть, на 2520).
Само число 2520=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7 имеет 4*3*2*2=48 делителей.
Если умножить 2520 на 2, то будет уже 5*3*2*2=60 делителей.
Если умножить 2520 на 3, то будет уже 4*4*2*2=64 делителя.
Если умножить 2520 на 4, то будет уже 6*3*2*2=72 делителя.

Вот так, перебрав все кратные 2520 до 2520*44, я нашла то, что требовалось в задаче, а именно 110880 (кстати, если в условии задачи убрать слова "включая 10 последовательных натуральных чисел", что изменится?).

Предлагаю желающим найти красивое решение (без перебора).
Оно же фактически приведено. Начало то же.
Далее, имеем: $\tau(2520)=\tau(2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7)=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48$.
Очевидно, что для утроения $\tau$ достаточно умножить 2520, на учетверенное простое число взаимно простое с 2,3,5,7. Наименьшим таким числом будет 44.
Альтернативные возможности утроения числа делителей:
1. Вместо учетверенного простого числа взять упятеренное. Полагаю, что в этом случае результат будет больше :)
2. Умножить 2520 на квадрат простого числа, взаимно простого с 2,3,5,7. Проигрывает, поскольку 121 > 44.
3. Увеличить показатели имеющихся простых множителей 2520. Здесь наименьший подходящий множитель 60. Он тоже больше 44.

В общем, тоже некий перебор. Но не подряд :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дюжина дюжин делителей
Сообщение16.01.2011, 21:03 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
VAL в сообщении #400821 писал(а):
В общем, тоже некий перебор. Но не подряд :)

(Спасибо! "Плюс" Вам поставить здесь не имею возможности, но поставлю на Есайенсине.)


 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group