Применения ВТФ

[ananova]

Впервые вижу подобное уравнение - а в нём точно $d^n$, а не $b^n$?

Цитата:

Предположим, что $b$ не делится на $n$, $n$ - ясно простое.
Тогда
$\sum\limits_{k = 1}^n {c^{n - k} a^{k - 1} } = d^n$
Если доказать, что это равенство не возможно в целых числах, то значит и БТФ верна. Но вот это пока и не доказано! Хотя сама БТФ и доказана, это не исключает существование решения вышеприведённого уравнения в целых числах.

[Коровьев]

ananova в сообщении #400077 писал(а):

Впервые вижу подобное уравнение - а в нём точно $d^n$, а не $b^n$?

Цитата:

Предположим, что $b$ не делится на $n$, $n$ - ясно простое.
Тогда
$\sum\limits_{k = 1}^n {c^{n - k} a^{k - 1} } = d^n$
Если доказать, что это равенство не возможно в целых числах, то значит и БТФ верна. Но вот это пока и не доказано! Хотя сама БТФ и доказана, это не исключает существование решения вышеприведённого уравнения в целых числах.

Так как по предложению $b$ не делится на $n$, то
$c-a=e^n$
$c^n -a^n=(c-a)\sum\limits_{k = 1}^n {c^{n - k} a^{k - 1} }=b^n = e^nd^n$$

[Профессор Снэйп]

Гаджимурат в сообщении #399959 писал(а):

...дает возможность иметь смысл жизни на старости лет,а молодым не пить водку и не "колоться",не бегать за девченками,хотя последнее утверждение ложное.

Ого! ВТФ --- инструмент поддержания морального облика населения на высоком уровне, панацея от всеобщей культурной деградации, орудие борьбы с демографическим кризисом!.. Куда там упомянутому инженеру с его теорией насыпей

[ananova]

Цитата:

Так как по предложению $b$ не делится на $n$, то
$c-a=e^n$
$c^n -a^n=(c-a)\sum\limits_{k = 1}^n {c^{n - k} a^{k - 1} }=b^n = e^nd^n$$

Ясненько, т.е. для степени 3, надо доказать, что следующее уравнение имеет решение в целых числах:
$c^2+ca+a^2=d^3$.

[Гаджимурат]

ananova в сообщении #400562 писал(а):

Ясненько, т.е. для степени 3, надо доказать, что следующее уравнение имеет решение в целых числах:

Я думаю необходимо доказать, что приведенное уравнение не имеет решения в целых числах.

[Nilenbert]

Гаджимурат в сообщении #400715 писал(а):

Я думаю необходимо доказать, что приведенное уравнение не имеет решения в целых числах.

Но оно имеет и бесконечно много: $18^2+18+1=7^3$, $17^2+17\cdot 36 +36^2=13^3$, и так далее.

[Гаджимурат]

Nilenbert в сообщении #400722 писал(а):

Но оно имеет и бесконечно много

Попробуйте привести пример,когда $c$- нечетное,$d$ -четное, $a$ -четное и
$c-a=e^3$. Можно $d$-нечетное,тогда $a$-четное,но $c$-всегда нечетное.Если найдете,я буду очень Вам признателен.Успехов Вам.

[Nilenbert]

Гаджимурат в сообщении #400728 писал(а):

Попробуйте привести пример,когда $c$- нечетное,$d$ -четное, $a$ -четное и
$c-a=e^3$. Можно $d$-нечетное,тогда $a$-четное,но $c$-всегда нечетное.Если найдете,я буду очень Вам признателен.Успехов Вам.

Если бы такие $c,a,d,e$ существовали бы, то было бы верно равенство $c^3-a^3=(de)^3$, а это невозможно, это ещё в 18 веке Эйлер доказал.

[Гаджимурат]

Nilenbert в сообщении #400750 писал(а):

Если бы такие $c,a,d,e$ существовали бы, то было бы верно равенство

Вот и я об том же.

[age]

Гаджимурат в сообщении #400779 писал(а):

Вот и я об том же.

Вы ни о чём. А вот похоже при $n>3$ у уравнения $\sum\limits_{k = 1}^n {c^{n - k} a^{k - 1} } = d^n$
и в самом деле решений в целых числах нет.

-- Вс янв 16, 2011 23:34:39 --

Nilenbert в сообщении #400722 писал(а):

Но оно имеет и бесконечно много: $18^2+18+1=7^3$, $17^2+17\cdot 36 +36^2=13^3$, и так далее.

Был такой товарищ на форуме Petern1, у него была формула параметризации $a^2\pm ab+b^2=p^n$ в явном виде для любых $n$.

-- Вс янв 16, 2011 23:41:41 --

Да и вообще, что касается "усилений" теоремы Ферма вида $\sum\limits_{k = 1}^n {c^{n - k} a^{k - 1} } = d^n$ (где снимается условие $c-a=e^n$) или даже более сильное $\sum\limits_{k = 1}^n {c^{n - k} a^{k - 1} } \div d^n$ - я находил там многие интересные свойства, которые "пропадают" с ростом показателя (скажем, последнее выполнимо при $n=5$, но вот при $n=7$ я не помню)
Потом maxal вычислил не такую уж и богатую последовательность $\sum\limits_{k = 1}^5 {(-1)^{k-1}c^{5 - k} a^{k - 1} } = d^2$, начиная с $(11,\ 8,\ 101)$ А вот с кубами - уже проблема.

[Гаджимурат]

age в сообщении #400873 писал(а):

Вы ни о чём. А вот похоже при $n>3$ у уравнения

А Вы о чем?.О том,что при $n=3$ приведенное здесь уравнение имеет решение в целых числах или я что-то не так понял.

[iakowlew]

Что такое? Почему не знаю...

[iakowlew]

Уважаемые форумчане.
Премия за теорему, как было выше сказано, аннулирована...
Но, как я прочитал, 100000$ - за наибольшее простое число.
В этом плане возникает интересный вопрос:
1) кол-во целых чисел = бесконечность;
2) кол-во простых чисел = бесконечность.
По доказанной теореме, "кол-во простых чисел" в процентном
отношении к общему кол-ву рассмотренных чисел стремится к 0.
Т. е. одна "бесконечность" равна 0, от другой "бесконечности".


Подпись. "Мы арифметику учили не по Гегелю."

[Коровьев]

iakowlew в сообщении #401166 писал(а):

Уважаемые форумчане.
Премия за теорему, как было выше сказано, аннулирована...
Но, как я прочитал, 100000$ - за наибольшее простое число.
В этом плане возникает интересный вопрос:
1) кол-во целых чисел = бесконечность;
2) кол-во простых чисел = бесконечность.
По доказанной теореме, "кол-во простых чисел" в процентном
отношении к общему кол-ву рассмотренных чисел стремится к 0.
Т. е. одна "бесконечность" равна 0, от другой "бесконечности".


Подпись. "Мы арифметику учили не по Гегелю."

"Вопросы надо ставить уместно и своевременно" (к/ф Чародеи)

[serval]

iakowlew в сообщении #401166 писал(а):

"кол-во простых чисел" в процентном отношении к общему кол-ву рассмотренных чисел стремится к 0.

Не понял. Как вы считали проценты? Наверное, шутка.