Применения ВТФ

[Профессор Снэйп]

Кто-нибудь хоть раз сталкивался с ситуацией, где надо было ссылаться на ВТФ, использовать ВТФ?.. Короче, рассматривать ВТФ не как финальную точку исследований, а как промежуточный этап решения задачи, продолжая с того места, где заканчивается её доказательство.

Я вот недавно сам удивился тому, как она всплыла на семинаре по формальным языкам.

Задача: Доказать, что для каждого натурального $s > 2$ язык $L = \{ a^{n^s} : n \in \mathbb{N} \}$ не является регулярным (контекстно-свободным).

Решение: Пусть $L$ регулярен (контекстно-свободен). Тогда для некоторого $n>0$ по теореме о накачке... существует $k > 0$, такое что $a^{n^s + ik} \in L$ при всех $i \in \mathbb{N}$. Положим $i = k^{s-1}$ и придём к противоречию.

Конечно, применение ВТФ здесь несколько надумано, достаточно было положить $i = n^sk^{s-1}$ и результат был бы получен без ссылки на столь сложную теорему. Но сама возможность её применения меня удивила. ВТФ всегда казалась мне примером наиболее бесполезного математического результата, вещью в себе.

(Оффтоп)

В юношеские годы (1989 год) моему другу довелось познакомиться с одним ферматиком. Тот был по профессии железнодорожным инженером и утверждал, что не просто доказал Великую Теорему Ферма, но и применил её в теории железнодорожных насыпей

[bot]

Запомнился доклад Андрея Виноградова на семинаре алгебра и логика в 60-х об описании минимальных квазимногообразий колец. Все, кроме одного описывались конечной системой квазитождеств (даже тождеств), а при описании последнего возникла проблема - в систему его квазитождеств надо было включить ровно те квазитождества $x^p+y^p + z^p=0 \longrightarrow xyz=0 \ (p\ne 2)$, которые справедливы в кольце $\mathbb Z$. С этой оговоркой статья и была опубликована. Теперь оговорку можно убрать.

[shwedka]

bot
по-видимому, здесь

Vinogradov, A. A. Minimal quasi-varieties of rings and relation algebras. (Russian) Algebra i Logika 6 1967 no. 4, 3--10.

[bot]

Она самая. Порылся среди оттисков - не нашёл, а гуглить поленился.

[Батороев]

Доказанность ВТФ позволяет намного проще решать многие проблемы.

Например, в одной из тем на форуме рассматривали случай ВТФ:
$(x+1)^3-x^3=y^3$ и, как справедливо отмечали участники обсуждения, это уравнение сводится к уравнению
$4a^3-3b^2=1$,
которое решается при помощи исследования точек на эллиптических кривых.

Но при доказанной ВТФ доказательство отсутствия других решений кроме тривиального $(1,1)$ уравнения:
$4a^3-3b^2=1$
выливается в школьную (может быть, олимпиадную) задачу.

[migmit]

Гарднер в одной из своих книг упоминает карточный фокус, основанный на теореме Ферма. Само описание фокуса он не приводит, замечая, что оно занимает полсотни страниц.

[iakowlew]

"Не хлебом единым, жив человек, но и..."

Подпись. "Танкист."

[bot]

А чем жив танкист? Неужели теоремой Ферма?

[iakowlew]

(Оффтоп)

Один Человек сказал:
не заботьтесь о завтрашнем дне, ибо завтрашний сам
будет заботится о своем: довольно для каждого дня
своей заботы.

zhoraster:

Замечание за бессодержательное сообщение!

[master]

Профессор Снэйп в сообщении #262149 писал(а):

Кто-нибудь хоть раз сталкивался с ситуацией, где надо было ссылаться на ВТФ, использовать ВТФ?..

было пару раз, но хоть убейте не помню где.
зато помню забавное свойство натуральных чисел, найденое при попытке доказательства теоремы.
$2^3+1^2=3^2, 2+1=3$
$3^3+3^2=6^2, 3+3=6$
$4^3+6^2=10^2, 4+6=10$
$5^3+10^2=15^2, 5+10=15$
$6^3+15^2=21^2, 6+15=21$
...

[Хорхе]

Ну кагбе ничего особенного. $(\frac{k^2+k}2)^2 - (\frac{k^2-k}2)^2 = k^2 \cdot k = k^3$.

(Оффтоп)

За это "ничего особенного" я буду растерзан каббалистами: как же, это такая прекрасная формула, связывающая кубы, квадраты и треугольные числа!

[iakowlew]

(Оффтоп)

Как много сделано ошибок...
как мало пройденно дорог.


Подпись. ...

Однодневный бан за бессодержательное сообщение и игнорирование замечания модератора.

[Коровьев]

Мне думается, что основное применение достижение решения Большой теоремы Ферма не в том, что она решена, а в том, что она разрешима.
Были мнения, что она, проблема, может быть не разрешима. От этого математикам было как-то не уютно, ибо тогда некоторые проблемы, где бы встретилось подобное условие, также были бы не разрешимы.
Большой плюс в решении БТФ в том, что многие ферматисты, незнакомые с ситуацией о премии за доказательство, бросили заниматься этой проблемой, а новые не появляется, сберегая тем самым своё время и здоровье для более насущных для себя задач.
Правда, есть и минус. Раз проблема имеет не элементарное решение, то нужно попытаться найти решение элементарными методами. Как в своё время было с теоремой Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. А это способствует рождению новой армии ферматистов, правда, уже не такой многочисленной. К слову, как и "элементарное" доказательство теоремы Дирихле ничего не дало, кроме престижа, (я не запомнил имя автора, а гуглить лень) так и элементарное доказательство БТФ ничего не даст.
Но не будем о печальном. БТФ ещё не сдалась.
Доказательство Уайлса БТФ основано на элиптической кривой Фрея,
$y^2 = x(x + a^n )(x - b^n )$
полученной из условия, что существуют целые числа с условием БТФ
$a^n + b^n = c^n $
Как обычно делались попытки доказательства?
Предположим, что $b$ не делится на $n$, $n$ - ясно простое.
Тогда
$\sum\limits_{k = 1}^n {c^{n - k} a^{k - 1} } = d^n$
Если доказать, что это равенство не возможно в целых числах, то значит и БТФ верна. Но вот это пока и не доказано! Хотя сама БТФ и доказана, это не исключает существование решения вышеприведённого уравнения в целых числах.
Отсутствие решений в целых числах доказано для большого класса простых чисел, так называемых регулярных. Но, ведь не для всех! Так, что БТФ ещё повоюет!

[alex1910]

Профессор Снэйп в сообщении #262149 писал(а):

Но сама возможность её применения меня удивила. ВТФ всегда казалась мне примером наиболее бесполезного математического результата, вещью в себе.

ВТФ полезна хотя бы тем, что ее доказательство породило массу весьма полезных теорий.

[Гаджимурат]

alex1910 в сообщении #399922 писал(а):

ВТФ полезна хотя бы тем, что ее доказательство породило массу весьма полезных теорий.

....и дает возможность иметь смысл жизни на старости лет,а молодым не пить водку и не "колоться",не бегать за девченками,хотя последнее утверждение ложное.