Непрерывность: если A замкнуто, то f(A) тоже замкнуто

[Falex]

Brukvalub я думал,что это уже известно,поэтому не переспрашивал ))

[Ulya]

С теми задачами разобралась!
А как вот для таких функционалов найти норму.Вот здесь вообще почему-то координаты или значения функций в точках стоят:

$ F:C\left[ { - 1,1} \right] \to R,F(y) = y( - 1) - 2y(0) + y(1),\left\| {y(t)} \right\| = \mathop {\max }\limits_{[ - 1,1]} \left| {y(t)} \right| $

$ F:l_1 \to R,F(x) = x_1 - x_2 ,\left\| x \right\| = \sum\nolimits_{k = 1}^\infty {\left| {x_k } \right|} $

$ F:l_2 \to R,F(x) = x_1 ,\left\| x \right\| = \sqrt {\sum\nolimits_{k = 1}^\infty {x_k^2 } } $

$ F:l_1 \to R,F(x) = x_1 ,\left\| x \right\| = \sum\nolimits_{k = 1}^\infty {\left| {x_k } \right|} $

$ F:l_1 \to R,F(x) = x_1 - x_2 ,\left\| x \right\| = \sum\nolimits_{k = 1}^\infty {\left| {x_k } \right|} $

У меня есть подозрения,что в первом примере ответ будет 4.

// нарезал мат. текст на строки. Обратите внимание, \\ не работает как разделитель строк. Набирайте формулы (строки) отдельно. нг

[Ulya]

Ну подскажите мне (

[Brukvalub]

Ulya писал(а):

...Есть подозрения,что в первом примере ответ будет 4.

Вы правильно подозреваете. Теперь выскажите Ваши подозрения по остальным задачам.Кстати, вторую задачу мы с Вами уже обсуждали.

[Ulya]

Для первого примера будет ответ 4,т.к. $\left| {F(y)} \right| \le \left| {y( - 1)} \right| + 2\left| {y(0)} \right| + \left| {y(1)} \right| \le 4\left\| {y(t)} \right\|$.
Для второго,последнего: $\left| {x_1 - x_2 } \right| \le \left| {x_1 } \right| + \left| {x_2 } \right|$...а дальше не знаю
Для третьего,четвертого: $\left| {x_1 } \right| \le $ аналогично не знаю как оценить можно через норму (

P.S:да вторую задачу я так и не поняла ((

[Brukvalub]

Вы и первую-то задачу решили не до конца. После оценки нормы оператора сверху нужно еще доказать (например, предъявлением точки в прообразе, или как-либо еще), что эта оценка - точная, то есть, что ее уже нельзя еще улучшить.

[obezyan]

$$ F:C\left[ {0,1} \right] \to R,F(y) = \int_0^1 { y(t^2 )dt } ,\left\| {y(t)} \right\| = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,1} \right]} \left| {y(t)} \right| \\ $$

Вот в таком задании могу ли я считать, что

$$ \int_0^1 { |y(t^2)|dt \le} \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,1} \right]} |y(t)| $$

Помнится это доказывали для просто |y(t)| или что-то подобное.. Да и здравый смысл подсказывает что это так (если нарисовать непрерывную на [0,1] функцию, провести ее максимум и помножить на длину отрезка [0,1], за пределы которого

$$ t^2 $$

не выходит, то вроде так и получится).
Если это так.. то как это можно обосновать, на основе того, что это верно для просто |y(t)|?
Если да, то думаю верно, что норма сего функционала меньше или равна единице и неулучшаемость этой оценки вполне подтверждается вектором y(t) = 1.

[RIP]

obezyan писал(а):

$$ F:C\left[ {0,1} \right] \to R,F(y) = \int_0^1 { y(t^2 )dt } ,\left\| {y(t)} \right\| = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,1} \right]} \left| {y(t)} \right| \\ $$

Вот в таком задании могу ли я считать, что

$$ \int_0^1 { |y(t^2)|dt \le} \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,1} \right]} |y(t)| $$

Помнится это доказывали для просто |y(t)| или что-то подобное.. Да и здравый смысл подсказывает что это так (если нарисовать непрерывную на [0,1] функцию, провести ее максимум и помножить на длину отрезка [0,1], за пределы которого

$$ t^2 $$

не выходит, то вроде так и получится).
Если это так.. то как это можно обосновать, на основе того, что это верно для просто |y(t)|?
Если да, то думаю верно, что норма сего функционала меньше или равна единице и неулучшаемость этой оценки вполне подтверждается вектором y(t) = 1.

$$\int\limits_0^1|y(t^2)|dt\leqslant\int\limits_0^1\max_{t\in[0;1]}|y(t^2)|dt=\max_{t\in[0;1]}|y(t^2)|=\max_{t\in[0;1]}|y(t)|.$$

Я ответил на Ваш вопрос?

[obezyan]

RIP писал(а):

$$\int\limits_0^1|y(t^2)|dt\leqslant\int\limits_0^1\max_{t\in[0;1]}|y(t^2)|dt=\max_{t\in[0;1]}|y(t^2)|=\max_{t\in[0;1]}|y(t)|.$$

Я ответил на Ваш вопрос?

Думаю да:). Для преподавателя наверное такой ответ пройдет, для меня это понятно на уровне здравого смысла, хотя аналитика и вызывает некоторые сомнения:).
Спасибо.

[obezyan]

Приветствую.
Снова вынужден обратиться в эту тему, ибо тут как раз решались уже подобные задачи, а я сам зашел в тупик..
Доказать, что если $f(x)$ непрерывна в метрическом пространстве, то $A = \left\{ {x: f(x) \le 0} \right\}$ - замкнуто.

[Brukvalub]

Множество точек метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, а это свойство для рассматриваемого вами множества очевидно.

[obezyan]

ну да, это я понял еще из начала темы - надо взять некоторую сходящуюся последовательность $x_n$, и доказать, что $x=\lim\limits_{n \to \infty}{x_n} \in X$, т.е. что предельная точка входит в множество, откуда мы брали последовательность.
Понятно так же, что для этой последовательности, для каждого $x_n$ существует $y_n = f(x_n)$, при этом $y_n \le 0$.
Даже если предположить, что существует $\lim\limits_{n \to \infty}{y_n} = y$ (хотя тоже это еще предположение надо как-то доказать, но думаю, это следует из того, что множество $(-\infty; 0]$ - ограниченно), то не понятно, как из этого прийти к тому, что и последовательнсоть $ x_n $ тоже сходится, оставаясь при этом в множестве $ A $:(.
Или я даже начало доказательства выбрал неверное?

[Someone]

obezyan писал(а):

ну да, это я понял еще из начала темы - надо взять некоторую сходящуюся последовательность $x_n$, и доказать, что $x=\lim\limits_{n \to \infty}{x_n} \in X$, т.е. что предельная точка входит в множество, откуда мы брали последовательность.
Понятно так же, что для этой последовательности, для каждого $x_n$ существует $y_n = f(x_n)$, при этом $y_n \le 0$.
Даже если предположить, что существует $\lim\limits_{n \to \infty}{y_n} = y$ (хотя тоже это еще предположение надо как-то доказать, но думаю, это следует из того, что множество $(-\infty; 0]$ - ограниченно),

Вероятно, это следует из непрерывности функции $f$. Каким способом - зависит от того, каким определением непрерывной функции Вы пользуетесь.

obezyan писал(а):

то не понятно, как из этого прийти к тому, что и последовательнсоть $ x_n $ тоже сходится,

Вы же её выбрали сходящейся к некоторой точке $x\in X$.

obezyan писал(а):

оставаясь при этом в множестве $ A $

Посмотрите, чему равно $f(x)$, и сравните с определением множества $A$.

[obezyan]

Цитата:

Вероятно, это следует из непрерывности функции $f$. Каким способом - зависит от того, каким определением непрерывной функции Вы пользуетесь.

Для любого $ x_0 $, любой $ e > 0 $ существует $ d(x_0,e)>0 $, т.ч. для любого $ x $ из $ |x-x_0|<d $ следует, что $ |f(x) - f(x_0)|<e $

[Someone]

Давайте чуть изменим обозначения. Выберем произвольное $\varepsilon>0$. Поскольку функция $f$ непрерывна в точке $x=\lim\limits_{n\to\infty}x_n$, найдётся такое $\delta>0$, что если $\rho(x,y)<\delta$, то $|f(y)-f(x)|<\varepsilon$ (здесь $\rho(x,y)$ - метрика Вашего метрического пространства).

Как дополнить это рассуждение, чтобы доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$?